БИЛЕТ № 3 1. Измерение и сравнение отрезков, середина отрезка. Длина отрезка. Сравнение отрезков. 2. Докажите, что в равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой (свойство биссектрисы равнобедренного треугольника). 3. В равностороннем треугольнике АВС медианы ВК и АМ пересе- каются в точке О. Найдите ∠AOK

Решение:

1. Измерение и сравнение отрезков:

Для измерения отрезка используют линейку. Длина отрезка — это число, показывающее, сколько раз мерка (единичный отрезок) укладывается в данном отрезке. Сравнение отрезков выполняется путем наложения или сравнения их длин.

2. Доказательство свойства биссектрисы равнобедренного треугольника:

Пусть дан равнобедренный треугольник ABC (AB = BC), а BD — биссектриса, проведенная к основанию AC. По определению биссектрисы, \( \angle ABD = \angle CBD \).

Рассмотрим треугольники ABD и CBD:

• AB = BC (по условию, равнобедренный треугольник).
• \( \angle ABD = \angle CBD \) (по условию, BD — биссектриса).
• BD — общая сторона.

По первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), \( \triangle ABD = \triangle CBD \).

Из равенства треугольников следует:

• AD = CD (BD — медиана).
• \( \angle BDA = \angle BDC \). Так как \( \angle BDA + \angle BDC = 180^{\circ} \) (развернутый угол), то \( \angle BDA = \angle BDC = 90^{\circ} \) (BD — высота).

Таким образом, биссектриса, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, является также медианой и высотой.

3. Нахождение угла ∠AOK:

В равностороннем треугольнике ABC все углы равны \( 60^{\circ} \).

Медианы в равностороннем треугольнике являются также биссектрисами и высотами.

Медиана BK делит \( \angle ABC \) пополам: \( \angle ABK = \angle KBC = 60^{\circ} / 2 = 30^{\circ} \).

Медиана AM делит \( \angle BAC \) пополам: \( \angle BAM = \angle MAC = 60^{\circ} / 2 = 30^{\circ} \).

Рассмотрим \( \triangle ABK \): \( \angle BAK = 60^{\circ} \), \( \angle ABK = 30^{\circ} \). Сумма углов треугольника равна \( 180^{\circ} \).

\( \angle AKB = 180^{\circ} - (60^{\circ} + 30^{\circ}) = 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ} \).

Рассмотрим \( \triangle AOK \).

\( \angle OAK \) — это \( \angle KAC \) (так как O лежит на AM). AM — биссектриса \( \angle BAC \), поэтому \( \angle KAC = \angle MAC = 30^{\circ} \).

\( \angle AKO \) — это \( \angle AKB \), который мы нашли ранее, \( 90^{\circ} \).

Сумма углов в \( \triangle AOK \) равна \( 180^{\circ} \).

\( \angle AOK = 180^{\circ} - (\angle OAK + \angle AKO) = 180^{\circ} - (30^{\circ} + 90^{\circ}) = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ} \).

Ответ: \( \angle AOK = 60^{\circ} \).