Билет № 4. 1. Четырехугольник. Сумма углов четырёхугольника. 2. Свойство касательной к окружности (формулировка и доказательство). * 3. Дан прямоугольный треугольник Катеты 7см и 24 см Найти синус, косинус и тангенс одного из острых углов

Билет № 4

1. Четырехугольник – это геометрическая фигура, состоящая из четырех точек (вершин), соединенных между собой отрезками (сторонами) так, что образуется замкнутая ломаная.
2. Сумма углов четырёхугольника равна 360°.
3. Свойство касательной к окружности: Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.
• Доказательство: Пусть $$AB$$ – касательная к окружности с центром $$O$$ в точке $$B$$. Предположим, что $$OB$$ не перпендикулярен $$AB$$. Тогда из точки $$O$$ можно провести перпендикуляр $$OC$$ к прямой $$AB$$, где $$C$$ – точка на $$AB$$. В прямоугольном треугольнике $$OCB$$, гипотенуза $$OB$$ будет больше катета $$OC$$. Это означает, что точка $$C$$ находится ближе к $$O$$, чем $$B$$. Но $$OB$$ – радиус окружности, и все точки на окружности находятся на одинаковом расстоянии от $$O$$. Следовательно, $$OC$$ должен быть меньше радиуса, и точка $$C$$ находится внутри окружности. Если $$OC$$ - это кратчайшее расстояние от $$O$$ до прямой $$AB$$, то $$AB$$ не может быть касательной, так как она должна иметь только одну общую точку с окружностью. Это противоречие. Следовательно, $$OB$$ должен быть перпендикулярен $$AB$$.
4. Нахождение синуса, косинуса и тангенса острого угла прямоугольного треугольника:
• Дано: Прямоугольный треугольник, катеты $$a = 7$$ см, $$b = 24$$ см.
• Найти: синус, косинус и тангенс одного из острых углов.
• Решение:
1. Сначала найдем длину гипотенузы ($$c$$) по теореме Пифагора: $$c^2 = a^2 + b^2$$.
2. $$c^2 = 7^2 + 24^2$$
3. $$c^2 = 49 + 576$$
4. $$c^2 = 625$$
5. $$c = \sqrt{625} = 25$$ см.
6. Обозначим один из острых углов как $$\alpha$$. Пусть катет $$a = 7$$ см лежит напротив угла $$\alpha$$, а катет $$b = 24$$ см – прилежащий к углу $$\alpha$$.
7. Синус угла $$\alpha$$ ($$\sin \alpha$$) – это отношение противолежащего катета к гипотенузе:
8. $$\sin \alpha = \frac{a}{c} = \frac{7}{25}$$
9. Косинус угла $$\alpha$$ ($$\cos \alpha$$) – это отношение прилежащего катета к гипотенузе:
10. $$\cos \alpha = \frac{b}{c} = \frac{24}{25}$$
11. Тангенс угла $$\alpha$$ ($$\tan \alpha$$) – это отношение противолежащего катета к прилежащему катету:
12. $$\tan \alpha = \frac{a}{b} = \frac{7}{24}$$

Ответ: Синус острого угла равен $$\frac{7}{25}$$, косинус равен $$\frac{24}{25}$$, тангенс равен $$\frac{7}{24}$$.