Билет 4. 1. Дайте определение вертикальных углов. Сформулируйте свойство вертикальных углов. 2. Сформулируйте теорему о сумме углов треугольника. 3. Докажите равенство треугольников ADM и AFE. 4. Один из двух односторонних углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых секущей, в три раза больше другого. Найти эти углы.

Решение:

1. Вертикальные углы — это два угла, у которых одна вершина общая, а стороны одного угла являются продолжениями сторон другого.
2. Свойство вертикальных углов: Вертикальные углы равны.
3. Теорема о сумме углов треугольника: Сумма углов любого треугольника равна 180°.
4. Для доказательства равенства треугольников ADM и AFE нам необходимы данные из рисунка или дополнительная информация. Исходя из представленного изображения, мы можем предположить, что:
• AD = AF (из рисунка похоже, что точка D и F лежат на окружности с центром A, или что AD и AF равны по условию, которое не полностью представлено).
• Угол DAM = Угол FAB (вертикальные углы, если точки D, A, F лежат на одной прямой, а точки M, A, E лежат на другой прямой. Однако, судя по рисунку, точки D, A, F не лежат на одной прямой, а E, A, M не лежат на одной прямой).
• AM = AE (из рисунка похоже, что точки M и E лежат на окружности с центром A, или что AM и AE равны по условию).
5. Если предположить, что AD = AF, AM = AE и угол DAM = угол FAE (как вертикальные углы, если прямые DE и MF пересекаются в точке A), тогда по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними) треугольники ADM и AFE будут равны.
6. Но если предположить, что точки D, A, F лежат на одной прямой, а E, A, M на другой, то углы DAM и FAE не являются вертикальными, а углы DAE и FAM являются вертикальными. В этом случае, чтобы доказать равенство треугольников ADM и AFE, нам нужны другие данные.
7. Давайте рассмотрим другой вариант, если на рисунке треугольники ADM и AFE равнобедренные с общей вершиной A, и AD=AF, AM=AE.
• Если углы DAM и FAE равны (вертикальные углы), то треугольники ADM и AFE равны по первому признаку равенства треугольников (две стороны и угол между ними).
8. Пусть дан угол \( \alpha \) и угол \( \beta \), причём \( \alpha = 3\beta \). Эти углы односторонние, образованные при пересечении двух параллельных прямых секущей. Сумма односторонних углов равна 180°.
• \( \alpha + \beta = 180^{\circ} \)
• \( 3\beta + \beta = 180^{\circ} \)
• \( 4\beta = 180^{\circ} \)
• \( \beta = \frac{180^{\circ}}{4} = 45^{\circ} \)
• \( \alpha = 3\beta = 3 \cdot 45^{\circ} = 135^{\circ} \)

Ответ: 1. Определение и свойство вертикальных углов приведены выше. 2. Сумма углов любого треугольника равна 180°. 3. При условии, что AD=AF, AM=AE и угол DAM = угол FAE (вертикальные), треугольники ADM и AFE равны по первому признаку равенства треугольников. 4. Углы равны 135° и 45°.