Билет №4. 1. Луч. Угол. Виды углов. 2. теорема о свойстве углов при основании равнобедренного треугольника. 3. Задача. Найти смежные углы, если один из них на 45° больше другого.

Разбор Билета №4

1. Луч. Угол. Виды углов:

• Луч – это часть прямой, которая начинается из некоторой точки и простирается в одном направлении бесконечно. Точка, из которой выходит луч, называется началом луча.


• Угол – это геометрическая фигура, образованная двумя лучами, исходящими из одной точки (вершины угла).


• Виды углов:
  
  
  • Острый угол: угол больше 0°, но меньше 90°.
  
  
  • Прямой угол: угол, равный 90°.
  
  
  • Тупой угол: угол больше 90°, но меньше 180°.
  
  
  • Развернутый угол: угол, равный 180°.
  
  
  • Полный угол: угол, равный 360°.
  
  
  • Смежные углы: два угла, у которых одна сторона общая, а другие стороны лежат на одной прямой. Сумма смежных углов равна 180°.
  
  
  • Вертикальные углы: два угла, у которых стороны одного угла являются продолжениями сторон другого угла. Вертикальные углы равны.
  
  
  
  

2. Теорема о свойстве углов при основании равнобедренного треугольника:

• Теорема: В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.


• Доказательство: Пусть дан равнобедренный треугольник ABC, в котором AB = AC (стороны AB и AC – боковые стороны, BC – основание). Нам нужно доказать, что углы при основании равны, то есть ∠ABC = ∠ACB.


• Проведем биссектрису AD угла ∠BAC. Она будет пересекать основание BC в точке D.


• Рассмотрим треугольники ΔABD и ΔACD.


• 
  
  • AB = AC (по условию, т.к. треугольник равнобедренный).
  
  
  • ∠BAD = ∠CAD (по построению, AD – биссектриса).
  
  
  • AD = AD (общая сторона).
  
  
  
  


• По первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), ΔABD = ΔACD.


• Из равенства этих треугольников следует, что соответствующие углы равны: ∠ABD = ∠ACD.


• Таким образом, углы при основании равнобедренного треугольника равны.

3. Задача. Смежные углы:

Пусть один смежный угол равен x.

Тогда другой смежный угол равен x + 45°.

Сумма смежных углов равна 180°.

Составим уравнение:

\[ x + (x + 45°) = 180° \]

Упростим уравнение:

\[ 2x + 45° = 180° \]

Вычтем 45° из обеих частей:

\[ 2x = 180° - 45° \]
\[ 2x = 135° \]

Найдем x:

\[ x = \frac{135°}{2} = 67.5° \]

Теперь найдем второй угол:

\[ x + 45° = 67.5° + 45° = 112.5° \]

Проверка: 67.5° + 112.5° = 180°.

Ответ: 67.5° и 112.5°.