Билет № 5. 1. Определение прямоугольника. Свойства прямоугольника. Площадь прямоугольника. 2. На рисунке изображен параллелограмм ABCD. Используя рисунок, найдите sin HBA.

Решение:

1. Определение прямоугольника: Прямоугольник — это четырёхугольник, у которого все углы прямые.

Свойства прямоугольника:

• Противоположные стороны равны и параллельны.
• Все углы равны 90°.
• Диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам.

Площадь прямоугольника вычисляется по формуле: \( S = a \cdot b \), где \( a \) и \( b \) — длины смежных сторон.

2. Нахождение sin HBA:

Из рисунка видно, что ABCD — параллелограмм.

Диагонали пересекаются в точке O.

Рисунок представляет собой сетку, где одна клетка равна 1 единице.

Найдем координаты точек:

• A = (0, 0)
• B = (2, 3)
• C = (7, 3)
• D = (5, 0)

Найдем вектор BA:

\( 1BA = A - B = (0 - 2, 0 - 3) = (-2, -3) \)

Найдем вектор BH:

H - это точка, соответствующая проекции B на AD. Значит, H = (2, 0).

\( 1BH = H - B = (2 - 2, 0 - 3) = (0, -3) \)

\( 1HA = A - H = (0 - 2, 0 - 0) = (-2, 0) \)

Для нахождения \( \sin(\angle HBA) \) сначала найдем длину сторон треугольника ABH:

• \( AB = \sqrt{(-2)^2 + (-3)^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13} \)
• \( BH = \sqrt{(0)^2 + (-3)^2} = \sqrt{0 + 9} = 3 \)
• \( HA = \sqrt{(-2)^2 + (0)^2} = \sqrt{4 + 0} = 2 \)

По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике ABH:

\( AB^2 = BH^2 + HA^2 \)

\( (\sqrt{13})^2 = 3^2 + 2^2 \)

\( 13 = 9 + 4 \)

\( 13 = 13 \)

Треугольник ABH действительно прямоугольный с прямым углом в H.

Теперь найдем \( \sin(\angle HBA) \):

\( \sin(\angle HBA) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{HA}{AB} = \frac{2}{\sqrt{13}} = \frac{2\sqrt{13}}{13} \)

Ответ: \( \sin(\angle HBA) = \frac{2\sqrt{13}}{13} \).