Билет 6. 1. Какие углы называются смежными? Чему равна сумма смежных углов? Могут ли быть смежными прямой и острый углы? Сделайте рисунок. 2. Найдите величину угла АОК, если ОК — биссектриса угла AOD, ∠DOB = 52°. Ответ дайте в градусах 3. В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С проведена высота CD. Найдите величину угла А, если DB = 9, а BC = 18. 4. Укажите номера верных утверждений: 1) Если при пересечении двух прямых третьей прямой внутренние накрест лежащие углы составляют в сумме 90°, то эти две прямые параллельны. 2) Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести единственную прямую, перпендикулярную данной прямой. 3) Смежные углы равны.

Решение:

1. Смежные углы:

Два угла называются смежными, если их стороны образуют прямую, а общая сторона делит этот угол на два.

Сумма смежных углов равна 180°.

Нет, смежными не могут быть прямой и острый углы. Если один угол прямой (90°), то смежный с ним тоже будет прямой (180° - 90° = 90°). Если один угол острый (например, 30°), то смежный с ним будет тупым (180° - 30° = 150°).

Рисунок:

2. Задача про угол:

∠DOB = 52°. ОК — биссектриса ∠AOD. Это значит, что ∠AOK = ∠KOD.

Углы ∠AOD и ∠DOB — смежные, их сумма равна 180°.

∠AOD = 180° - ∠DOB = 180° - 52° = 128°.

Так как ОК — биссектриса ∠AOD, то ∠AOK = ∠AOD / 2 = 128° / 2 = 64°.

Ответ: 64°

3. Задача про прямоугольный треугольник:

В △ABC ∠C = 90°. CD — высота. DB = 9, BC = 18.

Рассмотрим △CDB. Он прямоугольный (∠CDB = 90°). Мы знаем BC (гипотенуза) и DB (катет). Используем теорему Пифагора: $$CD^2 + DB^2 = BC^2$$.

$$CD^2 + 9^2 = 18^2$$

$$CD^2 + 81 = 324$$

$$CD^2 = 324 - 81 = 243$$

$$CD = √243 = √(81 × 3) = 9√3$$.

Теперь рассмотрим △ABC. Он прямоугольный (∠C = 90°). В нём ∠A + ∠B = 90°.

Рассмотрим △CDB. В нём ∠BCD + ∠B = 90°.

Из этого следует, что ∠A = ∠BCD.

В △CDB: $$\sin(\angle B) = \frac{CD}{BC} = \frac{9\sqrt{3}}{18} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$.

Следовательно, ∠B = 60°.

Тогда ∠A = 90° - ∠B = 90° - 60° = 30°.

Ответ: 30°

4. Верные утверждения:

1. Неверно. Если сумма внутренних накрест лежащих углов равна 90°, то прямые не обязательно параллельны. Для параллельности они должны быть равны.
2. Верно. Это следует из аксиомы параллельных прямых.
3. Неверно. Смежные углы равны только в том случае, если они оба прямые (по 90°).

Ответ: 2).