Билет № 6. 1. Определение ромба. Свойства диагоналей ромба. Площадь ромба. 2. Отрезки AC и BD — диаметры окружности с центром O. Угол AOD равен 110°. Найдите вписанный угол ACB. Ответ дайте в градусах.

Решение:

1. Определение ромба: Ромб — это четырёхугольник, у которого все стороны равны.

Свойства диагоналей ромба:

• Диагонали ромба пересекаются под прямым углом.
• Диагонали ромба делят его углы пополам.
• Диагонали точкой пересечения делятся пополам.

Площадь ромба вычисляется по формулам:

• \( S = a \cdot h \), где \( a \) — сторона ромба, \( h \) — высота.
• \( S = \frac{1}{2} d_1 \cdot d_2 \), где \( d_1 \) и \( d_2 \) — длины диагоналей.
• \( S = a^2 \cdot \sin(\alpha) \), где \( a \) — сторона ромба, \( \alpha \) — угол между сторонами.

2. Нахождение угла ACB:

AC и BD — диаметры окружности с центром O. Это означает, что ABCD — вписанный в окружность четырехугольник, диагонали которого являются диаметрами. Следовательно, ABCD — прямоугольник.

Угол AOD = 110° (дан по условию).

Углы AOD и BOC — вертикальные, поэтому \( \angle BOC = \angle AOD = 110^{\circ} \).

Углы AOD и COD — смежные, их сумма равна 180°.

\( \angle COD = 180^{\circ} - \angle AOD = 180^{\circ} - 110^{\circ} = 70^{\circ} \).

Углы BOC и AOD — вертикальные. Углы COD и AOB — вертикальные.

\( \angle AOB = \angle COD = 70^{\circ} \).

Так как AC и BD — диаметры, то ABCD — прямоугольник. В прямоугольнике диагонали равны, значит, \( AC = BD \). Поскольку они пересекаются в точке O, то \( AO = OC = BO = OD \).

Рассмотрим треугольник BOC. Он равнобедренный, так как \( BO = OC \).

Углы при основании равнобедренного треугольника равны:

\( \angle OBC = \angle OCB = \frac{180^{\circ} - \angle BOC}{2} = \frac{180^{\circ} - 110^{\circ}}{2} = \frac{70^{\circ}}{2} = 35^{\circ} \).

Треугольник COD равнобедренный, так как \( OC = OD \).

\( \angle OCD = \angle ODC = \frac{180^{\circ} - \angle COD}{2} = \frac{180^{\circ} - 70^{\circ}}{2} = \frac{110^{\circ}}{2} = 55^{\circ} \).

Угол ACB является частью угла ACD. Так как ABCD - прямоугольник, то \( \angle BCD = 90^{\circ} \).

\( \angle ACB = \angle BCD - \angle OCD = 90^{\circ} - 55^{\circ} = 35^{\circ} \).

Другой способ:

Угол ACB — вписанный угол, опирающийся на дугу AB.

Центральный угол, опирающийся на ту же дугу AB, равен \( \angle AOB = 70^{\circ} \).

Вписанный угол равен половине центрального угла:

\( \angle ACB = \frac{1}{2} \angle AOB = \frac{1}{2} \cdot 70^{\circ} = 35^{\circ} \).

Ответ: 35°.