Билет № 6 1) Дайте определение подобных треугольников. Назовите признаки подобия треугольников. 2) Сформулируйте признаки параллелограмма. (Докажите один из них по выбору) 3) Основания трапеции 12 и 25. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из её диагоналей. 4) Окружность с центром на стороне АС треугольника АВС проходит через вершину С и касается прямой АВ в точке В. Найдите АС, если диаметр окружности равен 7,5, а АВ=2.

Билет № 6

1. Определение и признаки подобных треугольников

• Определение: Два треугольника называются подобными, если их соответствующие углы равны, а соответствующие стороны пропорциональны.
• Признаки подобия:
• По двум углам (первый признак): Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
• По двум сторонам и углу между ними (второй признак): Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы между этими сторонами равны, то такие треугольники подобны.
• По трём сторонам (третий признак): Если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

2. Признаки параллелограмма

• Первый признак: Если две противоположные стороны четырехугольника равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм.
• Второй признак: Если две противоположные стороны четырехугольника равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.
• Третий признак: Если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм.
• Четвертый признак: Если противолежащие углы четырехугольника попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.
• Доказательство (по выбору): Рассмотрим второй признак. Пусть в четырехугольнике ABCD стороны AB и CD равны. Проведем диагональ AC. Треугольники ABC и CDA равны по трем сторонам (AB = CD по условию, BC = DA по условию, AC - общая сторона). Из равенства треугольников следует, что угол BAC равен углу DCA. Так как эти углы являются накрест лежащими при прямых AB и CD и секущей AC, то AB || CD. Таким образом, стороны AB и CD равны и параллельны, что доказывает, что ABCD - параллелограмм.

3. Отрезки средней линии трапеции

• Пусть основания трапеции равны $$a = 12$$ и $$b = 25$$. Средняя линия трапеции $$m$$ равна полусумме оснований: $$m = \frac{a+b}{2} = \frac{12+25}{2} = \frac{37}{2} = 18.5$$.
• Диагональ трапеции делит среднюю линию на два отрезка. Эти отрезки равны половине каждого из оснований.
• Больший отрезок будет равен половине большего основания: $$\frac{25}{2} = 12.5$$.
• Меньший отрезок будет равен половине меньшего основания: $$\frac{12}{2} = 6$$.

Ответ: 12,5

4. Диаметр окружности и отрезок АС

• Окружность с центром на стороне AC треугольника ABC проходит через вершину C и касается прямой AB в точке B.
• Диаметр окружности равен 7,5, значит, радиус $$r = \frac{7.5}{2} = 3.75$$.
• Так как окружность касается прямой AB в точке B, то радиус, проведенный в точку касания (OB, если O - центр окружности), перпендикулярен AB.
• Центр окружности находится на стороне AC. Пусть центр окружности - O. Тогда OC = OB = r = 3.75.
• Так как OB перпендикулярно AB, то угол OBA = 90°.
• В треугольнике ABC, AC является касательной к окружности в точке C, если бы AC была касательной. Но здесь центр на AC.
• Рассмотрим треугольник ABC. Угол ABC = 90° (так как OB перпендикулярен AB, и AC проходит через O, то OB является высотой треугольника ABC, если O лежит между A и C. Если O совпадает с C, то AC - радиус, что невозможно).
• Пусть O - центр окружности. OB перпендикулярно AB. OB = 3.75.
• Так как O лежит на AC, то AC - прямая, на которой лежит центр.
• Угол OBA = 90°.
• Рассмотрим треугольник ABC. Угол ABC = 90°.
• AC - гипотенуза. AB = 2.
• Так как OB перпендикулярно AB, то OB - высота, опущенная на AB из центра O.
• Треугольник ABC прямоугольный с прямым углом B.
• Центр окружности O лежит на гипотенузе AC.
• OB = 3.75 (радиус).
• В прямоугольном треугольнике ABC, если провести высоту BO к гипотенузе AC, то BO <= AC/2.
• Здесь OB - это радиус, а AC - диаметр описанной окружности. НО окружность не описана, центр на стороне.
• Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC. Угол B = 90°. AB = 2.
• Окружность с центром O на AC касается AB в точке B. Значит OB перпендикулярно AB. OB = радиус = 3.75.
• Так как OB перпендикулярно AB, то OB является высотой треугольника ABC, проведенной из вершины B к стороне AC, если бы O было на AC.
• Точка O лежит на AC. OB = 3.75. Угол OBA = 90°.
• Это означает, что треугольник OBA является прямоугольным. Но O лежит на AC.
• Предположим, что угол ABC = 90°. Тогда AB - катет, BC - катет, AC - гипотенуза.
• Окружность с центром O на AC касается AB в точке B. Значит OB перпендикулярно AB. OB = 3.75.
• Угол OBA = 90°.
• Если угол ABC = 90°, то OB является высотой треугольника ABC, проведенной из вершины B к гипотенузе AC.
• В этом случае OB = 3.75. AB = 2.
• В прямоугольном треугольнике ABC: $$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2}$$.
• Также $$OB = \frac{AB \cdot BC}{AC}$$.
• $$3.75 = \frac{2 \cdot BC}{\sqrt{2^2 + BC^2}}$$.
• $$3.75^2 = \frac{4 \cdot BC^2}{4 + BC^2}$$.
• $$14.0625 = \frac{4 BC^2}{4 + BC^2}$$.
• $$14.0625 (4 + BC^2) = 4 BC^2$$.
• $$56.25 + 14.0625 BC^2 = 4 BC^2$$.
• $$56.25 = (4 - 14.0625) BC^2$$.
• $$56.25 = -10.0625 BC^2$$. Это невозможно, так как BC^2 не может быть отрицательным.
• Пересмотрим условие: Окружность с центром на стороне AC треугольника ABC проходит через вершину C и касается прямой AB в точке B.
• Центр O лежит на AC. OC = OB = радиус.
• Касание AB в точке B означает, что OB перпендикулярно AB. Угол OBA = 90°.
• Пусть AC = x.
• В треугольнике ABC, O лежит на AC.
• Рассмотрим треугольник ABO. Угол OBA = 90°. AB = 2.
• Пусть AO = y. Тогда OC = AC - AO = x - y.
• Так как O - центр, OC = OB = радиус.
• $$OB = 3.75$$.
• В прямоугольном треугольнике OBA: $$OB^2 + AB^2 = AO^2$$.
• $$3.75^2 + 2^2 = y^2$$.
• $$14.0625 + 4 = y^2$$.
• $$y^2 = 18.0625$$.
• $$y = AO = \sqrt{18.0625} = 4.25$$.
• Теперь, OC = радиус = 3.75.
• AC = AO + OC (если O между A и C) или AC = AO - OC (если C между A и O) или AC = OC - AO (если A между O и C).
• Так как O лежит на стороне AC, и окружность проходит через C, то OC - радиус.
• AC = AO + OC = 4.25 + 3.75 = 8.
• Проверка: Треугольник ABC. AB = 2. AC = 8. O на AC. AO = 4.25, OC = 3.75. OB = 3.75. Угол OBA = 90°.
• В треугольнике ABC, если угол B = 90°, то $$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2}$$.
• Если O лежит на AC, и OB перпендикулярно AB, то OB - высота, опущенная на AC.
• В прямоугольном треугольнике ABC, с прямым углом B, высота BO к гипотенузе AC равна $$BO = \frac{AB · BC}{AC}$$.
• Также, $$AO = \frac{AB^2}{AC}$$ и $$CO = \frac{BC^2}{AC}$$.
• Мы знаем AB = 2, AC = x (искомое), AO = y, OB = 3.75.
• O на AC. OB перпендикулярно AB.
• Рассмотрим прямоугольный треугольник OBA. $$AO^2 = AB^2 + OB^2 = 2^2 + 3.75^2 = 4 + 14.0625 = 18.0625$$.
• $$AO = \sqrt{18.0625} = 4.25$$.
• Центр O находится на AC. Окружность проходит через C. Значит OC = OB = 3.75.
• AC = AO + OC (если O между A и C) = 4.25 + 3.75 = 8.
• AC = AO - OC (если C между A и O) = 4.25 - 3.75 = 0.5.
• AC = OC - AO (если A между O и C) = 3.75 - 4.25 = -0.5 (невозможно).
• Если AC = 0.5, то O на продолжении AC. Это противоречит условию, что O на стороне AC.
• Значит, AC = 8.

Ответ: 8