Билет № 6 1. Определение ромба. Свойства диагоналей ромба. Площадь ромба. 2. Отрезки AC и BD — диаметры окружности с центром О. Угол AOD равен 110°. Найдите вписанный угол ACB. Ответ дайте в градусах. Рис. 2 A B C D

Билет № 6

1. Определение ромба. Ромб — это четырёхугольник, у которого все стороны равны.

Свойства диагоналей ромба:

• Диагонали ромба пересекаются под прямым углом (90°).
• Диагонали ромба делят его углы пополам.
• Диагонали ромба делятся точкой пересечения пополам.

Площадь ромба:

• Через диагонали: S = (d1 * d2) / 2, где d1 и d2 — длины диагоналей.
• Через сторону и высоту: S = a * h, где 'a' — сторона ромба, 'h' — высота.
• Через сторону и угол: S = a² * sin(α), где 'α' — один из углов ромба.

2. Отрезки AC и BD — диаметры окружности с центром О. Угол AOD равен 110°. Найдите вписанный угол ACB. Ответ дайте в градусах.

Дано:

• AC и BD — диаметры окружности с центром O.
• ∠AOD = 110°

Найти: ∠ACB

Решение:

1. Так как AC и BD — диаметры, они проходят через центр окружности O.
2. Угол AOD — центральный угол, опирающийся на дугу AD. Величина дуги AD равна величине центрального угла, то есть дуга AD = 110°.
3. Угол ABD — вписанный угол, опирающийся на дугу AD. Величина вписанного угла равна половине величины дуги, на которую он опирается. Следовательно, ∠ABD = дуга AD / 2 = 110° / 2 = 55°.
4. Угол ACB — вписанный угол, опирающийся на дугу AB.
5. Углы AOD и BOC являются вертикальными, поэтому ∠BOC = ∠AOD = 110°.
6. Угол AOB и угол BOC — смежные, их сумма равна 180°. Поэтому ∠AOB = 180° - ∠BOC = 180° - 110° = 70°.
7. Угол AOB — центральный, опирающийся на дугу AB. Следовательно, дуга AB = 70°.
8. Угол ACB — вписанный угол, опирающийся на дугу AB. ∠ACB = дуга AB / 2 = 70° / 2 = 35°.

Проверка:

• В треугольнике AOD, AO = OD (радиусы), поэтому он равнобедренный. ∠OAD = ∠ODA = (180° - 110°) / 2 = 70° / 2 = 35°.
• В треугольнике AOB, AO = OB (радиусы), поэтому он равнобедренный. ∠OAB = ∠OBA = (180° - 70°) / 2 = 110° / 2 = 55°.
• ∠BAD = ∠OAD + ∠OAB = 35° + 55° = 90°.
• ∠ABC = ∠OBA + ∠OBC. Угол BOC = 110°, значит ∠OBC = ∠OCB = (180° - 110°) / 2 = 70° / 2 = 35°.
• ∠ABC = 55° + 35° = 90°.
• Таким образом, ABCD — прямоугольник.
• В прямоугольнике ABCD, угол ACB является вписанным углом, опирающимся на дугу AB. Дуга AB равна центральному углу AOB, который равен 70°.
• ∠ACB = дуга AB / 2 = 70° / 2 = 35°.

Ответ: 35