Билет 7 1. Прямоугольный треугольник (определение, названия сторон). Признаки равенства прямоугольных треугольников (без доказательства). 2. Признак касательной к окружности. Доказательство. 3. В равнобедренном треугольнике угол при основании в 2 раза меньше, чем угол при вершине. Найдите все углы треугольника. 4. В треугольнике MPF ZM = 60°, ∠P =40°. Биссектриса угла М пересекает сторону FP в точке К. Найдите угол FKM.

Задания по геометрии:

1. Прямоугольный треугольник:
   • Определение: Прямоугольный треугольник — это треугольник, у которого один из углов прямой (равен 90°).
   • Названия сторон: Сторона, лежащая напротив прямого угла, называется гипотенузой. Две другие стороны, прилежащие к прямому углу, называются катетами.
   • Признаки равенства прямоугольных треугольников:
     • По двум катетам.
     • По гипотенузе и острому углу.
     • По катету и гипотенузе.
     • По катету и острому углу.
2. Признак касательной к окружности: Теорема: Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Доказательство: Пусть $$r$$ — радиус окружности, $$O$$ — центр окружности, $$A$$ — точка касания, $$AB$$ — касательная. Проведем радиус $$OA$$. Предположим, что $$OA$$ не перпендикулярен $$AB$$. Тогда существует другой радиус $$OB$$, перпендикулярный $$AB$$. В этом случае $$OB$$ — высота треугольника $$OAB$$. Но в прямоугольном треугольнике гипотенуза всегда больше катета, что противоречит тому, что $$OB$$ — радиус. Следовательно, $$OA$$ перпендикулярен $$AB$$.
3. Решение задачи о равнобедренном треугольнике: Пусть угол при вершине равен $$x$$. Тогда углы при основании равны $$2x$$ каждый. Сумма углов треугольника равна 180°. Имеем: $$x + 2x + 2x = 180°$$. $$5x = 180°$$. $$x = 36°$$. Углы при основании равны $$2 \times 36° = 72°$$. Ответ: Углы треугольника равны 36°, 72°, 72°.
4. Решение задачи о треугольнике MPF: В треугольнике $$MPF$$ $$\angle M = 60°$$, $$\angle P = 40°$$. Сумма углов треугольника равна 180°, поэтому $$\angle F = 180° - 60° - 40° = 80°$$. $$MK$$ — биссектриса угла $$M$$, значит, она делит угол $$M$$ пополам: $$\angle KMP = \angle KMF = 60° / 2 = 30°$$. Рассмотрим треугольник $$FKM$$: $$\angle F = 80°$$, $$\angle KMF = 30°$$. Сумма углов треугольника $$FKM$$ равна 180°, поэтому $$\angle FKM = 180° - 80° - 30° = 70°$$. Ответ: Угол FKM равен 70°.