Билет №8 1. Объясните, что такое отрезок. Как сравнить два отрезка. Какая точка называется серединой отрезка. Единицы измерения отрезков. 2. Сформулируйте и докажите свойство прямоугольного треугольника с углом 30°. 3. Сумма вертикальных МОЕ и DOC, образованных при пересечении прямых МС и DE, равна 204°. Найдите MOD . 4. Из точки А проведены две касательные к окружности с центром в точке О. Найдите радиус окружности, если угол между касательными равен 60°, а расстояние от точки А до точки О равно 8.

Билет №8

1. Отрезок: Отрезок — это часть прямой, которая имеет два конца.
2. Сравнение отрезков: Отрезки сравнивают по их длине. Если длины равны, то отрезки равны.
3. Середина отрезка: Середина отрезка — это точка, которая делит отрезок на два равных отрезка.
4. Единицы измерения отрезков: Отрезки измеряют в единицах длины: миллиметрах (мм), сантиметрах (см), дециметрах (дм), метрах (м), километрах (км).
5. Свойство прямоугольного треугольника с углом 30°: В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы.
6. Доказательство свойства:
   1. Дано: \(\triangle ABC\) — прямоугольный, \(\angle C = 90°\), \(\angle A = 30°\).
   2. Доказать: BC = \( \frac{1}{2} \) AB.
   3. Доказательство:
   1. Отметим на продолжении отрезка BC точку D так, чтобы BC = CD.
   2. Соединим точки A и D. \(\triangle ABC = \triangle ADC\) по двум сторонам (AB=AD, BC=CD, так как BD = 2BC) и углу между ними (\(\angle BCA = \angle DCA = 90°\)).
   3. Значит, AC — общая сторона, BC = CD, \(\angle BAC = \angle DAC = 30°\), \(\angle BCA = \angle DCA = 90°\).
   4. \(\angle BAD = \angle BAC + \angle DAC = 30° + 30° = 60°\).
   5. В \(\triangle ABD\) \(\angle ABD = 180° - 90° - 60° = 30° \) — это неверно.
   6. Вернёмся к построению: Отметим точку D на продолжении отрезка BC так, чтобы BC = CD. Соединим точки A и D. \(\triangle ABC = \triangle ADC\) (по первому признаку равенства треугольников: AC — общая сторона, \(\angle BCA = \angle DCA = 90°\), BC = CD).
   7. Следовательно, AB = AD и \(\angle BAC = \angle DAC = 30°\).
   8. \(\angle BAD = \angle BAC + \angle DAC = 30° + 30° = 60°\).
   9. \(\triangle ABD\) — равнобедренный (AB = AD), и \(\angle BAD = 60°\), следовательно, \(\triangle ABD\) — равносторонний.
   10. BD = AB.
   11. Так как CD = BC и BD = 2BC, то AB = 2BC.
   12. Следовательно, BC = \( \frac{1}{2} \) AB.
7. Нахождение MOD:
   1. Вертикальные углы равны, значит \(\angle MOD = \angle EOC\) и \(\angle MOE = \angle DOC\).
   2. Сумма смежных углов равна 180°.
   3. У нас есть, что \(\angle MOE + \angle EOC + \angle COD + \angle DOM = 360°\).
   4. Также, \(\angle MOE + \angle DOC = 204°\).
   5. Так как \(\angle MOE = \angle DOC\), то \( 2 \angle MOE = 204° \), следовательно, \(\angle MOE = 102°\).
   6. \(\angle DOC = 102°\).
   7. \(\angle EOC + \angle COD = 180°\).
   8. \(\angle EOC = 180° - 102° = 78°\).
   9. \(\angle MOD = \angle EOC = 78°\).
8. Нахождение радиуса окружности:
   1. Рассмотрим \(\triangle AOO_1\), где O_1 — точка касания. \( AO_1 \) — радиус, \( OO_1 \perp AO_1 \) (радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной).
   2. \(\triangle AOO_1\) — прямоугольный треугольник с \(\angle AO_1O = 90°\).
   3. Угол между касательными равен 60°, значит \(\angle OAO_1 = 60° / 2 = 30°\) (внешний угол равнобедренного \(\triangle AO_1O\), где AO = AO, AO_1 = AO_2).
   4. В прямоугольном \(\triangle AOO_1\), катет \( OO_1 \) (радиус) лежит против угла в 30°.
   5. По свойству катета, противолежащего углу в 30°, \( OO_1 = \frac{1}{2} AO \).
   6. Нам дано, что AO = 8.
   7. \( OO_1 = \frac{1}{2} \cdot 8 = 4 \).
   8. Радиус окружности равен 4.