Билет 9. 1. Дайте определение внешнего угла треугольника. Сформулируйте свойство внешнего угла треугольника. 2. Докажите, что при пересечении двух параллельных прямых секущей соответственные углы равны. 3. Один из смежных углов, на 50° меньше другого. Найти эти углы. 4. Найти углы треугольника АВС.

Question

Accepted Answer

Внешний угол треугольника — это угол, смежный с каким-либо внутренним углом треугольника.

Свойство внешнего угла треугольника: Внешний угол треугольника равен сумме двух других углов треугольника, не смежных с ним.

Пусть даны две параллельные прямые a и b, и секущая c. Рассмотрим соответственные углы ∠1 и ∠2.

Если a || b, то ∠1 = ∠2.

Доказательство:

Угол ∠1 и угол, смежный с ∠2 (назовем его ∠3), являются накрест лежащими.
Так как a || b, то накрест лежащие углы равны, следовательно, ∠1 = ∠3.
Углы ∠2 и ∠3 — смежные, их сумма равна 180°.
Из равенства ∠1 = ∠3 следует, что ∠1 + ∠2 = 180°.
Рассмотрим другой случай: если ∠1 и ∠2 — соответственные углы, то внешний угол при одной вершине равен внутреннему углу при другой вершине, лежащему с ним в одной полуплоскости, потому что вертикальный угол к ∠1 равен ∠2.

Пусть один угол равен \( x \), тогда второй угол равен \( x + 50° \).

Сумма смежных углов равна 180°:

\( x + (x + 50°) = 180° \)

\( 2x + 50° = 180° \)

\( 2x = 180° - 50° \)

\( 2x = 130° \)

\( x = 65° \)

Значит, один угол равен 65°, а второй — \( 65° + 50° = 115° \).

Ответ: 65° и 115°.

В треугольнике ABC внешний угол при вершине C равен 140°.

Внутренний угол ∠C = 180° - 140° = 40°.

В треугольнике ABC сумма углов равна 180°.

\( ∠A + ∠B + ∠C = 180° \)

\( ∠A + ∠B + 40° = 180° \)

\( ∠A + ∠B = 140° \)

Для определения углов ∠A и ∠B требуется дополнительная информация (например, что треугольник равнобедренный, или значение одного из углов).

Ответ: ∠C = 40°. Недостаточно данных для нахождения ∠A и ∠B.