Билет №9. 1. Определение подобных треугольников. Признаки подобия. Второй признак подобия треугольников (доказательство). 2. В треугольнике ABC угол C равен 90°, а угол В равен 35°, CD – высота. Найти углы треугольника ACD.

1. Второй признак подобия треугольников

Второй признак подобия треугольников (по стороне и прилежащим к ней углам): Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Доказательство:

Пусть даны \( \triangle ABC \) и \( \triangle A'B'C' \) такие, что \( AC = A'C' \), \( \angle A = \angle A' \) и \( \angle C = \angle C' \).

Рассмотрим данные треугольники. Поскольку \( \angle A = \angle A' \) и \( \angle C = \angle C' \), то третьи углы также равны: \( \angle B = 180^{\circ} - (\angle A + \angle C) \) и \( \angle B' = 180^{\circ} - (\angle A' + \angle C') \), следовательно \( \angle B = \angle B' \).

Теперь у нас есть равенство двух углов и равные стороны между ними. Перенесем \( \triangle A'B'C' \) так, чтобы \( A' \) совпал с \( A \) и \( A'C' \) лег на \( AC \). Так как \( A'C' = AC \), то \( C' \) совпадет с \( C \).

Поскольку \( \angle A = \angle A' \), то \( A'B' \) совпадет с \( AB \). Следовательно, \( B' \) совпадет с \( B \).

Таким образом, \( \triangle ABC = \triangle A'B'C' \) (по двум сторонам и углу между ними, или по стороне и двум прилежащим углам), а значит, они подобны.

2. Решение задачи

Дано:

\( \triangle ABC \), \( \angle C = 90^{\circ} \), \( \angle B = 35^{\circ} \).

\( CD \) — высота.

Найти:

Углы \( \triangle ACD \).

Решение:

1. В \( \triangle ABC \) сумма углов равна \( 180^{\circ} \). Найдем \( \angle A \):
\( \angle A = 180^{\circ} - \angle C - \angle B = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 35^{\circ} = 55^{\circ} \).
2. \( CD \) — высота, значит \( CD \perp AB \), следовательно \( \angle CDA = 90^{\circ} \).
3. Рассмотрим \( \triangle ACD \):
• \( \angle CAD = \angle A = 55^{\circ} \) (так как \( D \) лежит на \( AB \)).
• \( \angle CDA = 90^{\circ} \) (из пункта 2).
• \( \angle ACD = 180^{\circ} - (\angle CAD + \angle CDA) = 180^{\circ} - (55^{\circ} + 90^{\circ}) = 180^{\circ} - 145^{\circ} = 35^{\circ} \).

Ответ: Углы треугольника ACD равны: \( \angle CAD = 55^{\circ} \), \( \angle CDA = 90^{\circ} \), \( \angle ACD = 35^{\circ} \).