Билет № 9. 2. Прямая касается окружности в точке К. Точка О — центр окружности. Хорда КМ образует с касательной угол, равный 83°. Найдите величину угла ОМК. Ответ дайте в градусах.

Решение:

1. Свойства касательной и хорды: Угол между касательной и хордой, проведённой из точки касания, равен половине дуги, которую он высекает. В нашем случае, угол между касательной и хордой KM равен 83°. Это значит, что дуга, которую высекает хорда KM (дуга KM), равна \( 2 \cdot 83° = 166° \).

2. Центральный угол: Угол ОМК является вписанным углом, опирающимся на дугу MK. Однако, ОМК не является вписанным углом. Угол KОM - это центральный угол, который равен величине дуги MK, то есть \( \angle KOM = 166° \).

3. Треугольник KOM: Треугольник KOM является равнобедренным, так как OK и OM — это радиусы окружности, следовательно, \( OK = OM \). В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Поэтому \( \angle OMK = \angle OKM \).

4. Сумма углов в треугольнике: Сумма углов в треугольнике равна 180°. В треугольнике KOM: \( \angle KOM + \angle OMK + \angle OKM = 180° \).

5. Расчёт угла OMK: Подставляем известные значения: \( 166° + \angle OMK + \angle OMK = 180° \).

\( 2 \cdot \angle OMK = 180° - 166° \)

\( 2 \cdot \angle OMK = 14° \)

\( \angle OMK = \frac{14°}{2} = 7° \)

Примечание: Есть теорема, гласящая, что угол между касательной и хордой равен вписанному углу, опирающемуся на эту хорду. Обозначим точку касания К. Угол между касательной и хордой KM равен 83°. Пусть А — точка на окружности, такая что угол KАM является вписанным углом. Тогда \( \angle KAM = 83° \). Центральный угол KOM равен удвоенному вписанному углу KAM, если угол O находится внутри угла KAM. В нашем случае, угол между касательной и хордой KM равен 83°. Этот угол опирается на дугу MK. Центральный угол KOM равен величине дуги MK, то есть \( \angle KOM = 2 \cdot 83° = 166° \). В равнобедренном треугольнике KOM (OK = OM - радиусы) углы при основании равны: \( \angle OMK = \angle OKM \). Сумма углов треугольника: \( \angle KOM + \angle OMK + \angle OKM = 180° \). \( 166° + 2 \cdot \angle OMK = 180° \). \( 2 \cdot \angle OMK = 180° - 166° = 14° \). \( \angle OMK = 7° \).

Ответ: 7°.