Билет №9 1. Определение подобных треугольников. Признаки подобия. Второй признак подобия треугольников (доказательство) 2. В треугольнике ABC угол C равен 90°, а угол В равен 35°, CD – высота. Найти углы треугольника ACD.

Решение:

1. Определение подобных треугольников. Признаки подобия. Второй признак подобия треугольников (доказательство).

Два треугольника называются подобными, если их соответствующие углы равны и соответствующие стороны пропорциональны.

Второй признак подобия треугольников: Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

Доказательство:

Пусть даны два треугольника \( \triangle ABC \) и \( \triangle A_1B_1C_1 \).

Если \( \frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1} \) и \( \triangle B = \triangle B_1 \), то \( \triangle ABC \thicksim \triangle A_1B_1C_1 \).

2. В треугольнике ABC угол C равен 90°, а угол В равен 35°, CD – высота. Найти углы треугольника ACD.

Дан прямоугольный треугольник \( \triangle ABC \), где \( \triangle C = 90° \) и \( \triangle B = 35° \).

Сумма углов в треугольнике равна 180°.

Найдем \( \triangle A \) в \( \triangle ABC \):

\( \triangle A + \triangle B + \triangle C = 180° \)

\( \triangle A + 35° + 90° = 180° \)

\( \triangle A + 125° = 180° \)

\( \triangle A = 180° - 125° = 55° \).

\( CD \) — высота, проведенная из вершины \( C \) к гипотенузе \( AB \). Высота в прямоугольном треугольнике делит его на два подобных треугольника: \( \triangle ACD \) и \( \triangle CBD \).

Рассмотрим \( \triangle ACD \).

\( CD \) — высота, значит, \( \triangle CDA = 90° \).

Угол \( \triangle A \) в \( \triangle ACD \) совпадает с углом \( \triangle A \) в \( \triangle ABC \), то есть \( \triangle A = 55° \).

Теперь найдем \( \triangle ACD \) в \( \triangle ACD \):

\( \triangle ACD + \triangle CDA + \triangle CAD = 180° \)

\( \triangle ACD + 90° + 55° = 180° \)

\( \triangle ACD + 145° = 180° \)

\( \triangle ACD = 180° - 145° = 35° \).

Ответ: Углы треугольника ACD равны 90°, 55° и 35°.