Билет № 9 1. Определение внешнего угла треугольника. Сформулировать свойство внешнего угла треугольника. 2. Докажите свойство односторонних углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых секущей.

Математика, 7 класс

Задание 1: Теорема о внешнем угле треугольника

1. Определение внешнего угла треугольника: Внешний угол треугольника — это угол, смежный с внутренним углом треугольника.
2. Свойство внешнего угла треугольника: Внешний угол треугольника равен сумме двух других углов, не смежных с ним.

Доказательство:

Пусть в треугольнике ABC (рис. 1), внешний угол при вершине C равен $$\angle BCD$$.

Сумма углов треугольника равна $$180^\circ$$: $$\angle A + \angle B + \angle ACB = 180^\circ$$.

Угол $$\angle ACB$$ и внешний угол $$\angle BCD$$ — смежные, значит, их сумма равна $$180^\circ$$: $$\angle ACB + \angle BCD = 180^\circ$$.

Из второго равенства выразим $$\angle ACB$$: $$\angle ACB = 180^\circ - \angle BCD$$.

Подставим это выражение в первое равенство:

$$\, \angle A + \angle B + (180^\circ - \angle BCD) = 180^\circ$$

$$\, \angle A + \angle B - \angle BCD = 180^\circ - 180^\circ$$

$$\, \angle A + \angle B - \angle BCD = 0$$

$$\, \angle A + \angle B = \angle BCD$$

Что и требовалось доказать.

Задание 2: Свойство односторонних углов при параллельных прямых и секущей

Теорема: Сумма односторонних углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых секущей, равна $$180^\circ$$.

Дано:

• Прямые $$a \parallel b$$.
• Секущая $$c$$ пересекает прямые $$a$$ и $$b$$.
• $$\angle 1$$ и $$\angle 2$$ — односторонние углы.

Доказать: $$\angle 1 + \angle 2 = 180^\circ$$.

Доказательство:

Пусть секущая $$c$$ пересекает параллельные прямые $$a$$ и $$b$$ (рис. 2). Обозначим углы:

• $$\, \angle 1$$ и $$\angle 3$$ — односторонние углы.
• $$\, \angle 3$$ и $$\angle 2$$ — накрест лежащие углы.

Так как прямые $$a$$ и $$b$$ параллельны, то накрест лежащие углы равны: $$\angle 3 = \angle 2$$.

Углы $$\angle 1$$ и $$\angle 3$$ являются односторонними, и их сумма равна $$180^\circ$$ (это свойство, которое мы доказываем, но в данном случае для простоты доказательства используем его, а затем переформулируем). Однако, более строгое доказательство использует соответственные углы.

Альтернативное доказательство (через соответственные углы):

Пусть $$\angle 4$$ — соответственный угол углу $$\angle 2$$. Так как $$a \parallel b$$, то $$\angle 4 = \angle 2$$.

Угол $$\angle 1$$ и угол $$\angle 4$$ являются смежными. Следовательно, $$\angle 1 + \angle 4 = 180^\circ$$.

Так как $$\angle 4 = \angle 2$$, то подставляем это в равенство:

$$\, \angle 1 + \angle 2 = 180^\circ$$.

Что и требовалось доказать.

Ответ:

• Внешний угол треугольника равен сумме двух других, не смежных с ним углов.
• Сумма односторонних углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых секущей, равна $$180^\circ$$.