Билеты геометрия для 8 класса Билет №1. 1. Определение четырехугольника. Виды четырехугольников. 2. Доказать теорему о площади параллелограмма. 3. Задача: Найти площадь ромба, если его высота 15 см, а острый угол 30°. 4. Билет № 2. 1. Параллелограмм. Определение. Свойства параллелограмма. 2. Доказать теорему о средней линии треугольника. 3. Задача: В равнобокой трапеции боковая сторона 17 см, основания равны 10 см и 26 см. Найдите площадь трапеции.

Решение задач по геометрии для 8 класса.

Билет №1.

1. Определение четырехугольника. Виды четырехугольников.

   Четырёхугольник - это геометрическая фигура, состоящая из четырёх точек (вершин), соединённых последовательно четырьмя отрезками (сторонами) так, что никакие два соседних отрезка не лежат на одной прямой, а никакие два не соседних отрезка не пересекаются. Виды четырехугольников: квадрат, прямоугольник, параллелограмм, ромб, трапеция, дельтоид.

2. Доказать теорему о площади параллелограмма.

   Теорема: Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту, проведенную к этому основанию.

   Доказательство:

   Пусть дан параллелограмм ABCD, где AD - основание, BH - высота.

   Площадь параллелограмма можно найти как сумму площадей двух равных треугольников, на которые он делится диагональю.

   $$S_{ABCD} = AD \cdot BH$$

3. Задача: Найти площадь ромба, если его высота 15 см, а острый угол 30°.

   Решение:

   Пусть дан ромб ABCD, BH - высота, ∠BAD = 30°.

   Площадь ромба можно найти как произведение стороны на высоту: $$S = a \cdot h$$, где a - сторона ромба, h - высота.

   Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH. В нём ∠BAH = 30°, BH = 15 см.

   Катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы.

   Следовательно, AB = 2 \cdot BH = 2 \cdot 15 = 30 см.

   $$S = 30 \cdot 15 = 450 \text{ см}^2$$

Ответ: 450 см²

Билет №2.

1. Параллелограмм. Определение. Свойства параллелограмма.

   Параллелограмм - это четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

   Свойства параллелограмма:

   • Противоположные стороны параллелограмма равны.
   • Противоположные углы параллелограмма равны.
   • Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

2. Доказать теорему о средней линии треугольника.

   Теорема: Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.

   Доказательство:

   Пусть MN - средняя линия треугольника ABC.

   Проведём через точку N прямую, параллельную AC. Она пересечёт сторону BC в некоторой точке P.

   Тогда MN || AC и NP || AB.

   В четырехугольнике ANPM противоположные стороны попарно параллельны, следовательно, ANPM - параллелограмм.

   MN = AP и AN = MP.

   Так как M и N - середины сторон AB и BC, то AM = MB и BN = NC.

   Следовательно, AM = AN = MB = NP = NC.

   Треугольники BMN и NPC равны по двум сторонам и углу между ними (BM = NP, BN = NC, ∠B = ∠N).

   Следовательно, MN = PC.

   Так как MN || AC и MN = PC, то MN - средняя линия треугольника ABC.

3. Задача: В равнобокой трапеции боковая сторона 17 см, основания равны 10 см и 26 см. Найдите площадь трапеции.

   Решение:

   Пусть дана равнобокая трапеция ABCD, где AD = 26 см, BC = 10 см, AB = CD = 17 см.

   Площадь трапеции можно найти по формуле: $$S = \frac{a+b}{2} \cdot h$$, где a и b - основания трапеции, h - высота.

   Проведем высоты BH и CK.

   Тогда AH = KD = (AD - BC) / 2 = (26 - 10) / 2 = 8 см.

   Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH. В нём AB = 17 см, AH = 8 см.

   По теореме Пифагора: BH² = AB² - AH² = 17² - 8² = 289 - 64 = 225.

   Следовательно, BH = √225 = 15 см.

   $$S = \frac{10+26}{2} \cdot 15 = 18 \cdot 15 = 270 \text{ см}^2$$

Ответ: 270 см²