Билеты к экзамену по геометрии.pdf Билет №8 1. Теорема Пифагора. 2. Вписанная и описанная окружности. 3. В прямоугольном треугольнике АВС (<C = 90°) AB = 41 см, АС = 9 см. Точки Ми К - середины сторон АВ и АС соответственно. Найдите: а) длину отрезка МК; б) тангенсы острых углов. 4. На стороне АО параллелограмма АВСО взята точка Е так, что АЕ = 4 см, ЕО = 5 см, ВЕ = 12 см, ВО = 13 см. Найдите площадь параллелограмма. Билет №9 1. Признаки подобия треугольников, доказательство любого признака. 2. Прямоугольник, свойства и признаки прямоугольника. 3. Из точки А к прямой проведены две наклонные АМ = 10 см и АС = 4√5 см. Проекция наклонной АМ имеет длину 6 см. Найдите длину проекции наклонной АС и длину МС (рассмотрите 2 случая). 4. Сторона ромба равна 18 см, а один из углов равен 120°. Найдите расстояние между противолежащими сторонами ромба.

Ответ: Решено все задачи, указанные в билетах №8 и №9.

Билет №8

1. Теорема Пифагора.
2. Вписанная и описанная окружности.

3. В прямоугольном треугольнике ABC (

   • а) длину отрезка MK;
   • б) тангенсы острых углов.

   Решение:

   Показать решение

   1. а) Длина отрезка MK

      MK - средняя линия треугольника ABC, следовательно, MK || BC и MK = 1/2 BC. Сначала найдем BC по теореме Пифагора:

      \[BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{41^2 - 9^2} = \sqrt{1681 - 81} = \sqrt{1600} = 40 \text{ см}\]

      Теперь найдем MK:

      \[MK = \frac{1}{2} BC = \frac{1}{2} \cdot 40 = 20 \text{ см}\]

   2. б) Тангенсы острых углов

      Найдем тангенс угла A и угла B:

      \[\tan A = \frac{BC}{AC} = \frac{40}{9}\]

      \[\tan B = \frac{AC}{BC} = \frac{9}{40}\]

   Ответ: а) MK = 20 см, б) tan A = 40/9, tan B = 9/40

4. На стороне AO параллелограмма ABCO взята точка E так, что AE = 4 см, EO = 5 см, BE = 12 см, BO = 13 см. Найдите площадь параллелограмма.

   Решение:

   Показать решение

   1. Рассмотрим треугольник BEO: BE = 12 см, EO = 5 см, BO = 13 см.

      Заметим, что 12^2 + 5^2 = 144 + 25 = 169 = 13^2, значит, треугольник BEO - прямоугольный, ∠BEO = 90°.

   2. Выразим площадь треугольника BEO: S_BEO = 1/2 * BE * EO = 1/2 * 12 * 5 = 30 см².

   3. Так как ∠BEO = 90°, то BE является высотой параллелограмма, опущенной на сторону AO. AO = AE + EO = 4 + 5 = 9 см.

   4. Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту: S_ABCO = AO * BE = 9 * 12 = 108 см².

   Ответ: Площадь параллелограмма ABCO равна 108 см².

Билет №9

1. Признаки подобия треугольников, доказательство любого признака.
2. Прямоугольник, свойства и признаки прямоугольника.

3. Из точки A к прямой проведены две наклонные AM = 10 см и AC = 4√5 см. Проекция наклонной AM имеет длину 6 см. Найдите длину проекции наклонной AC и длину MC (рассмотрите 2 случая).

   Решение:

   Показать решение

   1. Пусть H – проекция точки A на прямую, тогда AH – перпендикуляр к прямой. MH = 6 см (проекция AM).

   2. Из прямоугольного треугольника AHM по теореме Пифагора найдем AH: AH^2 = AM^2 - MH^2 = 10^2 - 6^2 = 100 - 36 = 64, AH = 8 см.

   3. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник AHC. AC = 4√5 см, AH = 8 см. Пусть HC = x, тогда по теореме Пифагора: AC^2 = AH^2 + HC^2

      (4√5)^2 = 8^2 + x^2; 16 * 5 = 64 + x^2; 80 = 64 + x^2; x^2 = 16; x = 4 см (проекция AC).

   4. Найдем MC. Возможны 2 случая:

      • Точка H между M и C: MC = MH + HC = 6 + 4 = 10 см.
      • Точка M между H и C: MC = HC - MH = 4 - 6 = -2 см (не имеет смысла, т.к. длина не может быть отрицательной), тогда MH - HC = 6 - 4 = 2 см.

   Ответ: Длина проекции AC равна 4 см. Длина MC равна 10 см или 2 см.

4. Сторона ромба равна 18 см, а один из углов равен 120°. Найдите расстояние между противолежащими сторонами ромба.

   Решение:

   Показать решение

   1. Высота ромба, проведенная из вершины угла 120°, является расстоянием между противолежащими сторонами.

   2. Рассмотрим ромб ABCD, ∠A = 120°. Проведем высоту BH из вершины B к стороне AD. Треугольник ABH - прямоугольный, ∠ABH = 90°.

   3. Угол ∠BAH = 120° - 90° = 30°. В прямоугольном треугольнике против угла 30° лежит катет, равный половине гипотенузы.

   4. BH = 1/2 * AB = 1/2 * 18 = 9 см.

   Ответ: Расстояние между противолежащими сторонами ромба равно 9 см.

Ответ: Решено все задачи, указанные в билетах №8 и №9.