Билеты по геометрии 7 класс Билет 1. 1. Определение отрезка, луча, угла. Определение развернутого угла. Обозначение лучей и углов. 2. Доказать признак равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними. 3. В прямоугольном треугольнике DEF катет DF равен 14 см, ZE = 30°. Найдите гипотенузу DE. 4. Докажите, что угол 1 равен углу 2. Билет 2. 1. Определение равных фигур. Определение середины отрезка и биссектрисы угла. 2. Доказать признак равенства треугольников по стороне и двум прилежащим углам. 3. Угол при основании равнобедренного треугольника равен 72°. Найдите угол при вершине. 4. На прямой последовательно отмечены точки А, В, С и Д, АС = 8 см, BD = 6 см, BC = 3 см. Найдите AD.

Решение Билета 1:

1. Определение отрезка, луча, угла:
   • Отрезок - это часть прямой, ограниченная двумя точками.
   • Луч - это часть прямой, имеющая одно начало и неограниченная в другую сторону.
   • Угол - это геометрическая фигура, образованная двумя лучами, исходящими из одной точки (вершины угла).
   • Развернутый угол - это угол, стороны которого образуют прямую линию (равен 180°).
   • Обозначение лучей и углов: Луч обозначается двумя точками (например, луч AB) или одной буквой (если ясно, откуда он исходит). Угол обозначается тремя точками (две на сторонах и одна в вершине, например, ∠ABC) или одной буквой (если вершина не совпадает с другими вершинами).
2. Признак равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними (СУС): Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
3. Расчет гипотенузы DE:

   В прямоугольном треугольнике DEF, катет DF (прилежащий к углу ∠D) равен 14 см, а угол ∠E = 30°.

   Мы можем использовать тригонометрическую функцию тангенс:

   \[ \tan(E) = \frac{DF}{DE} \]\[ \tan(30°) = \frac{14}{DE} \]\[ DE = \frac{14}{\tan(30°)} \]\[ DE = \frac{14}{\frac{1}{\sqrt{3}}} \]\[ DE = 14 \sqrt{3} \text{ см} \]Ответ: Гипотенуза DE равна 14√3 см.
4. Доказательство равенства углов 1 и 2:

   Предполагаем, что на рисунке угол 1 и угол 2 являются углами при основании равнобедренного треугольника, а отрезок, который их разделяет, является медианой, высотой или биссектрисой.

   Если треугольник, к которому относятся углы 1 и 2, является равнобедренным, и отрезок, делящий углы, является биссектрисой, то углы 1 и 2 равны по определению биссектрисы.

   Если это равнобедренный треугольник и отрезок является высотой, проведенной к основанию, то высота также является биссектрисой, и углы 1 и 2 будут равны.

   Если это равнобедренный треугольник и отрезок является медианой, проведенной к основанию, то медиана также является биссектрисой, и углы 1 и 2 будут равны.

   Для точного доказательства необходимо условие, что треугольник равнобедренный, и отрезок является биссектрисой, высотой или медианой, проведенной к основанию.

Решение Билета 2:

1. Определение равных фигур, середины отрезка и биссектрисы угла:
   • Равные фигуры - это фигуры, которые можно совместить друг с другом путем наложения.
   • Середина отрезка - это точка, которая делит отрезок на два равных отрезка.
   • Биссектриса угла - это луч, исходящий из вершины угла и делящий его на два равных угла.
2. Признак равенства треугольников по стороне и двум прилежащим углам (УСУ): Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника равны соответственно стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
3. Расчет угла при вершине равнобедренного треугольника:

   Угол при основании равнобедренного треугольника равен 72°. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

   Сумма углов в треугольнике равна 180°.

   Пусть угол при вершине будет X. Тогда:

   \[ 72° + 72° + X = 180° \]\[ 144° + X = 180° \]\[ X = 180° - 144° \]\[ X = 36° \]Ответ: Угол при вершине равен 36°.
4. Расчет длины отрезка AD:

   Точки А, В, С, Д отмечены последовательно на прямой.

   Дано:

   • АС = 8 см
   • BD = 6 см
   • BC = 3 см

   Известно, что AC = AB + BC. Отсюда:

   \[ AB = AC - BC \]\[ AB = 8 \text{ см} - 3 \text{ см} \]\[ AB = 5 \text{ см} \]

   Также известно, что BD = BC + CD.

   Мы знаем BD и BC, поэтому найдем CD:

   \[ CD = BD - BC \]\[ CD = 6 \text{ см} - 3 \text{ см} \]\[ CD = 3 \text{ см} \]

   Теперь найдем AD. AD = AB + BC + CD, или AD = AC + CD.

   \[ AD = AC + CD \]\[ AD = 8 \text{ см} + 3 \text{ см} \]\[ AD = 11 \text{ см} \]Ответ: AD = 11 см.