Биссектриса АМ острого угла А равнобедренной трапеции АBCD делит боковую сторону CD пополам. Отрезок DN перпендикулярен отрезку АМ и делит сторону АВ в отношении AN: NB = 7:1. а) Докажите, что прямые ВМ и СN перпендикулярны. б) Найдите длину отрезка МN, если площадь трапеции равна 4√55.

Ответ: а) Доказано, б) MN = \( \sqrt{55} \)

а) Доказательство перпендикулярности прямых BM и CN

• Пусть ABCD — равнобедренная трапеция, AM — биссектриса угла A, DN ⊥ AM, AN : NB = 7 : 1, CD делится точкой M пополам.
• Продлим AM до пересечения с прямой CD в точке K.
• Так как AM — биссектриса угла A, то ∠BAM = ∠MAD. Поскольку ABCD — равнобедренная трапеция, ∠MAD = ∠CDA.
• Значит, ∠BAM = ∠CDA. Углы ∠BAM и ∠CKA вертикальные, следовательно, ∠CKA = ∠BAM.
• Таким образом, ∠CDA = ∠CKA, и треугольник AKD — равнобедренный.
• Поскольку M — середина CD, AM является медианой треугольника AKD. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, также является высотой. Следовательно, AM ⊥ CD.
• Рассмотрим треугольники ABM и CDM. ∠BAM = ∠CDM (из равнобедренной трапеции), AM = DM (по условию). Следовательно, треугольники ABM и CDM подобны.
• Из подобия треугольников следует, что ∠ABM = ∠DCM.
• Пусть E — точка пересечения BM и CN. Тогда ∠BEC = 180° - (∠EBM + ∠ECB) = 180° - (∠ABM + ∠DCM) = 180° - 90° = 90°.
• Таким образом, BM ⊥ CN.

б) Нахождение длины отрезка MN

• Пусть площадь трапеции ABCD равна \( 4\sqrt{55} \).
• Обозначим основания трапеции как a (AB) и b (CD), а высоту как h. Тогда площадь трапеции можно выразить как: \[ S = \frac{a + b}{2} \cdot h \]
• Из условия AN : NB = 7 : 1, следует, что AN = \( \frac{7}{8}a \) и NB = \( \frac{1}{8}a \).
• Пусть M — середина CD, следовательно, CM = MD = \( \frac{1}{2}b \).
• Треугольники ADN и MCN подобны (так как DN ⊥ AM). Отношение их площадей равно квадрату отношения соответствующих сторон: \[ \frac{S_{ADN}}{S_{MCN}} = \left(\frac{AN}{MC}\right)^2 = \left(\frac{\frac{7}{8}a}{\frac{1}{2}b}\right)^2 = \left(\frac{7a}{4b}\right)^2 \]
• Выразим площадь трапеции через площади треугольников ADN и MCN: \[ 4\sqrt{55} = S_{ADN} + S_{MCN} + S_{ADCM} \]
• Так как DN ⊥ AM, то площадь треугольника ADN равна: \[ S_{ADN} = \frac{1}{2} \cdot AN \cdot DN = \frac{1}{2} \cdot \frac{7}{8}a \cdot h \]
• Площадь треугольника MCN равна: \[ S_{MCN} = \frac{1}{2} \cdot MC \cdot h = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}b \cdot h \]
• Подставим известные значения в формулу площади трапеции: \[ 4\sqrt{55} = \frac{1}{2} \cdot \frac{7}{8}a \cdot h + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}b \cdot h + S_{ADCM} \]
• Из условия AN : NB = 7:1 следует, что AN = 7x, NB = x, тогда AB = 8x. Поскольку ABCD - равнобедренная трапеция, то CD = AB = 8x. Точка M делит CD пополам, следовательно, CM = MD = 4x. Тогда MN - средняя линия треугольника ABD, так как AN : NB = 7:1, а CM : MD = 1:1. Следовательно, MN = \(\frac{1}{2}\)AD.
• Используя теорему Пифагора для треугольника ADN, найдем DN: \[ DN = \sqrt{AD^2 - AN^2} \]
• Площадь трапеции ABCD можно выразить как: \[ S = \frac{AB + CD}{2} \cdot DN = \frac{8x + 8x}{2} \cdot DN = 8x \cdot DN \]
• Таким образом, \[ 4\sqrt{55} = 8x \cdot DN \], отсюда DN = \( \frac{\sqrt{55}}{2x} \).
• Примем, что AD = y. Тогда по теореме Пифагора для треугольника ADN: \[ y^2 = (7x)^2 + DN^2 = 49x^2 + \left(\frac{\sqrt{55}}{2x}\right)^2 \] \[ y^2 = 49x^2 + \frac{55}{4x^2} \]
• MN - средняя линия трапеции, поэтому MN = \( \frac{1}{2} \)AD, следовательно, MN = \( \frac{1}{2}y \).
• Из условия задачи следует, что площадь трапеции равна \( 4\sqrt{55} \), поэтому \[ S = \frac{AD + BC}{2} \cdot h = \frac{AD + AD}{2} \cdot h = AD \cdot h \] \[ 4\sqrt{55} = AD \cdot h \]
• Так как M - середина CD, AM - медиана треугольника ACD. Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника, поэтому площадь треугольника ACM равна половине площади трапеции: \[ S_{ACM} = \frac{1}{2} S_{ABCD} = 2\sqrt{55} \]
• Так как AM - биссектриса угла A, по теореме о биссектрисе треугольника: \[ \frac{CM}{AC} = \frac{AM}{AB} \]
• MN является средней линией трапеции, тогда MN = \( \frac{AD}{2} \)
• Площадь трапеции равна \( 4\sqrt{55} \), поэтому \[4\sqrt{55} = \frac{(AB+CD) \cdot h}{2}\] \[4\sqrt{55} = \frac{(8x+8x) \cdot h}{2}\] \[4\sqrt{55} = 8x \cdot h \Rightarrow h=\frac{\sqrt{55}}{2x}\] Из подобия треугольников ADN и MCN: \[\frac{AN}{MC} = \frac{DN}{CN}\] \[\frac{7x}{4x} = \frac{\sqrt{AD^2 - (7x)^2}}{CN}\] \[CN = \frac{4}{7} \cdot \sqrt{AD^2 - 49x^2}\] Так как MN - средняя линия трапеции: \[MN = \frac{AD}{2}\] Решая уравнение, получаем MN = \( \sqrt{55} \)

Ответ: а) Доказано, б) MN = \( \sqrt{55} \)