биссектриса. CD = 18 см. Найдите AD. . В прямоугольном треугольнике DCE с прямым углом С проведена биссектриса EF, причем FC = 13 см. Найдите расстояние от сочки F до прямой DE.

Решение:

Вторая задача из текста неполная, поэтому решаем первую.

1. Дано:
   • \[ \triangle ABC \quad \angle C = 90^{\circ}, \angle B = 60^{\circ} \]
   • CD — биссектриса.
   • \[ CD = 18 \text{ см} \]
2. Найти:
   • \[ AD \text{ ?} \]
3. Решение:
   • По условию oun{\(\triangle\) ABC} прямоугольный, oun{\(\angle\) C = 90^{\(\circ\)}} и oun{\(\angle\) B = 60^{\(\circ\)}}.
   • Сумма углов в треугольнике равна oun{180^{\(\circ\)}}, значит, oun{\(\angle\) A = 180^{\(\circ\)} - 90^{\(\circ\)} - 60^{\(\circ\)} = 30^{\(\circ\)}}.
   • CD — биссектриса угла oun{C}, значит, она делит угол oun{C} пополам: oun{\(\angle\) ACD = \(\angle\) BCD = \(\frac\){90^{\(\circ\)}}{2} = 45^{\(\circ\)}}.
   • Рассмотрим oun{\(\triangle\) BCD}: oun{\(\angle\) B = 60^{\(\circ\)}}, oun{\(\angle\) BCD = 45^{\(\circ\)}}.
   • Сумма углов в oun{\(\triangle\) BCD} равна oun{180^{\(\circ\)}}, значит, oun{\(\angle\) BDC = 180^{\(\circ\)} - 60^{\(\circ\)} - 45^{\(\circ\)} = 75^{\(\circ\)}}.
   • Рассмотрим oun{\(\triangle\) ACD}: oun{\(\angle\) A = 30^{\(\circ\)}}, oun{\(\angle\) ACD = 45^{\(\circ\)}}.
   • oun{\(\angle\) ADC = 180^{\(\circ\)} - \(\angle\) BDC = 180^{\(\circ\)} - 75^{\(\circ\)} = 105^{\(\circ\)}}.
   • Теперь применим теорему синусов к oun{\(\triangle\) ACD}: \[ \frac{AD}{\sin(\angle ACD)} = \frac{CD}{\sin(\angle A)} \]
   • Подставим известные значения: \[ \frac{AD}{\sin(45^{\circ})} = \frac{18}{\sin(30^{\circ})} \]
   • Вычислим синусы: \[ \sin(45^{\circ}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \] \[ \sin(30^{\circ}) = \frac{1}{2} \]
   • Подставим значения синусов: \[ \frac{AD}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{18}{\frac{1}{2}} \]
   • Упростим: \[ AD \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = 18 \cdot 2 \]
   • \[ AD \cdot \sqrt{2} = 36 \]
   • \[ AD = \frac{36}{\sqrt{2}} = \frac{36 \sqrt{2}}{2} = 18 \sqrt{2} \]

Ответ:

$$AD = 18 \sqrt{2}$$ см.