Биссектриса CM треугольника ABC делит сторону AB на отрезки AM = 4 и MB = 8. Касательная к описанной окружности треугольника ABC, проходящая через точку C, пересекает прямую AB в точке D. Найдите CD.

По теореме о биссектрисе \(AC/BC=AM/MB=1/2\). Значит, можно обозначить \(AC=x\), \(BC=2x\), где \(AB=12\).

Треугольники \(ACD\) и \(ABC\) подобны: угол при A у них общий, а угол между касательной CD и хордой CA равен вписанному углу CBA. Поэтому \(CD/BC=AC/AB\), откуда \(CD=x\cdot 2x/12=x^2/6\).

Длина AC (или другая дополнительная характеристика треугольника) не задана, поэтому численное значение CD определить нельзя. Например, при допустимых \(AC=8\) и \(AC=9\) получаются разные значения CD. Нужны дополнительные данные о треугольнике.