25. Биссектриса СМ треугольника АВС делит сторону АВ на отрезки АМ = 8 и МВ = 13. Касательная к окружности, описанной около треугольника АВС, проходит через точку С и пересекает прямую АВ в точке D. Найдите CD.

Для решения этой задачи нам понадобятся свойства биссектрисы треугольника и касательной к окружности.

Пусть дана окружность, описанная около треугольника ABC. Касательная к окружности в точке C пересекает прямую AB в точке D. Нужно найти длину отрезка CD.

По свойству касательной и секущей, проведенных из одной точки к окружности, имеем:

$$CD^2 = DA \cdot DB$$

Также дано, что CM - биссектриса треугольника ABC, AM = 8 и MB = 13.

По свойству биссектрисы треугольника, биссектриса делит сторону треугольника на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам:

$$\frac{AC}{BC} = \frac{AM}{MB} = \frac{8}{13}$$

Пусть AC = 8x, BC = 13x.

По теореме об отрезках касательной и секущей:

$$CD^2 = AD \cdot BD$$

Пусть AD = y. Тогда BD = AB + AD = 8 + 13 + AD = 21 + y.

$$CD^2 = y(21 + y)$$

Треугольники ACD и ABC подобны по двум углам (угол C - общий, угол DAC = углу ACB, т.к. опираются на одну и ту же дугу). Тогда справедливо соотношение:

$$\frac{AC}{CD} = \frac{AD}{BC}$$ $$CD = \frac{AC \cdot BC}{AD}$$ $$CD = \frac{8x \cdot 13x}{y} = \frac{104x^2}{y}$$

Подставим это выражение в формулу $$CD^2 = y(21 + y)$$:

$$\left(\frac{104x^2}{y}\right)^2 = y(21 + y)$$ $$\frac{10816x^4}{y^2} = y(21 + y)$$ $$10816x^4 = y^3(21 + y)$$

Учитывая подобие треугольников BCD и BCA, имеем:

$$\frac{BC}{CD} = \frac{BD}{AC}$$ $$CD = \frac{AC \cdot BC}{BD} = \frac{8x cdot 13x}{21 + y} = \frac{104x^2}{21 + y}$$

Подставляем в $$CD^2 = y(21 + y)$$:

$$\left(\frac{104x^2}{21 + y}\right)^2 = y(21 + y)$$ $$\frac{10816x^4}{(21 + y)^2} = y(21 + y)$$ $$10816x^4 = y(21 + y)^3$$

По свойству секущей и касательной, $$CD^2 = AD cdot DB$$, где $$AD = x$$, $$DB = x + 21$$.

Применим теорему о свойстве биссектрисы внешнего угла треугольника: $$\frac{AD}{BD} = \frac{AC}{BC}$$

$$\frac{AD}{AD + 21} = \frac{8}{13}$$ $$13AD = 8AD + 168$$ $$5AD = 168$$ $$AD = \frac{168}{5} = 33.6$$

Тогда $$CD^2 = AD cdot BD = 33.6 cdot (33.6 + 21) = 33.6 cdot 54.6 = 1834.56$$

Следовательно, $$CD = \sqrt{1834.56} = 42.83177 approx 42.83$$

Используем другое соотношение. По теореме о касательной и секущей:

$$CD^2 = AD cdot BD$$

Также, по свойству биссектрисы внешнего угла:

$$\frac{AC}{BC} = \frac{AD}{BD} = \frac{AD}{AD + AB}$$

Из условия, что AM = 8 и MB = 13, значит AB = 21.

$$\frac{8}{13} = \frac{AD}{AD + 21}$$ $$8(AD + 21) = 13AD$$ $$8AD + 168 = 13AD$$ $$5AD = 168$$ $$AD = \frac{168}{5} = 33.6$$

Значит, $$BD = AD + AB = 33.6 + 21 = 54.6$$.

$$CD^2 = AD cdot BD = 33.6 cdot 54.6 = 1834.56$$ $$CD = \sqrt{1834.56} = 42.83$$

Следовательно, CD = 42.83.

Окончательный ответ: 42.83