3. Биссектриса угла A равнобедренного треугольника ABC с основанием BC, пересекла серединный перпендикуляр к стороне AC в точке O. Найдите BO, если AO = 10 см.

Рассмотрим решение задачи: 1. Поскольку треугольник ABC равнобедренный с основанием BC, то AB = AC. 2. Биссектриса угла A делит угол BAC пополам. 3. Серединный перпендикуляр к стороне AC проходит через середину AC и перпендикулярен AC. 4. Точка O является точкой пересечения биссектрисы угла A и серединного перпендикуляра к стороне AC. 5. Так как точка O лежит на серединном перпендикуляре к AC, то OA = OC = 10 см (по условию AO = 10 см). 6. Поскольку OA = OC, треугольник AOC – равнобедренный. 7. Так как треугольник ABC равнобедренный, биссектриса угла A является также медианой и высотой. Значит, она делит сторону BC пополам и перпендикулярна ей. 8. Рассмотрим треугольники ABO и ACO. У них: * AO – общая сторона, * AB = AC (как стороны равнобедренного треугольника), * ∠BAO = ∠CAO (так как AO – биссектриса). 9. Следовательно, треугольники ABO и ACO равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). 10. Из равенства треугольников следует, что BO = CO. 11. Так как CO = AO = 10 см, то BO = 10 см. Ответ: BO = 10 см