Контрольные задания > Биссектриса угла D треугольника EDG пересекает описанную около этого треугольника окружность в точке F. Найдите углы треугольника EFG, если ∠EDG = 82°.
Вопрос:

Биссектриса угла D треугольника EDG пересекает описанную около этого треугольника окружность в точке F. Найдите углы треугольника EFG, если ∠EDG = 82°.

Смотреть решения всех заданий с листа

Ответ:

Краткая запись:

  • Треугольник EDG
  • Биссектриса угла D пересекает описанную окружность в точке F.
  • ∡EDG = 82°
Краткое пояснение: Чтобы найти углы треугольника EFG, нам нужно воспользоваться свойствами вписанных углов и свойствами биссектрисы.

Пошаговое решение:

  1. Шаг 1: Определяем центральный угол ∡EOG. Угол ∡EDG является вписанным углом, который опирается на дугу EG. Центральный угол, опирающийся на ту же дугу, равен удвоенному вписанному углу. Однако, ∡EDG не является вписанным углом, опирающимся на дугу EG. Вместо этого, ∡EDG = 82° является углом треугольника EDG.
  2. Шаг 2: Поскольку F лежит на описанной окружности и DF — биссектриса ∡EDG, то дуга EF равна дуге FG.
  3. Шаг 3: Угол ∡EFG является вписанным углом, опирающимся на дугу EG. Угол ∡EDG = 82° — это центральный угол, который опирается на дугу EG. Следовательно, дуга EG = 82°.
  4. Шаг 4: Угол ∡EFG = 82° / 2 = 41°.
  5. Шаг 5: Угол ∡GEF является вписанным углом, опирающимся на дугу GF. Так как DF — биссектриса, то дуга EF = дуга FG.
  6. Шаг 6: Если предположить, что ∡EDG = 82° это центральный угол, то дуга EG = 82°. Тогда дуга EF = дуга FG = 82°/2 = 41°.
  7. Шаг 7: Угол ∡GEF опирается на дугу FG, значит ∡GEF = 41° / 2 = 20.5°.
  8. Шаг 8: Угол ∡EFG опирается на дугу EG, значит ∡EFG = 82° / 2 = 41°.
  9. Шаг 9: Сумма углов в треугольнике EFG равна 180°. ∡FEG + ∡EGF + ∡EFG = 180°.
  10. Шаг 10: Угол ∡EGF опирается на дугу EF, значит ∡EGF = 41° / 2 = 20.5°.
  11. Шаг 11: Проверка: 20.5° + 20.5° + 41° = 82°. Это не соответствует сумме углов треугольника.
  12. Шаг 12: Переосмыслим условие. ∡EDG = 82° — это угол треугольника EDG. DF — биссектриса ∡EDG. F — точка на описанной окружности.
  13. Шаг 13: Пусть ∡EDG = 82°. Так как DF — биссектриса, то ∡EDF = ∡FDG = 82° / 2 = 41°.
  14. Шаг 14: Углы ∡EFD и ∡EGD опираются на одну дугу ED, поэтому ∡EFD = ∡EGD.
  15. Шаг 15: Углы ∡DFE и ∡DGE опираются на дугу DE.
  16. Шаг 16: Угол ∡EFG является вписанным и опирается на дугу EG.
  17. Шаг 17: Угол ∡GEF является вписанным и опирается на дугу GF.
  18. Шаг 18: Угол ∡GFE является вписанным и опирается на дугу GE.
  19. Шаг 19: Поскольку F лежит на описанной окружности и DF — биссектриса ∡EDG, то дуга EF = дуга FG.
  20. Шаг 20: Вписанный угол ∡EDG = 82° опирается на дугу EG. Это неверное утверждение. ∡EDG — угол треугольника.
  21. Шаг 21: Пусть ∡EDG = 82°. Углы ∡EFG, ∡FGE, ∡GEF — углы треугольника EFG.
  22. Шаг 22: Так как F лежит на описанной окружности и DF — биссектриса ∡EDG, то дуга EF = дуга FG.
  23. Шаг 23: Вписанный угол ∡EGF равен половине дуги EF.
  24. Шаг 24: Вписанный угол ∡GEF равен половине дуги GF.
  25. Шаг 25: Следовательно, ∡EGF = ∡GEF.
  26. Шаг 26: Угол ∡EFG является вписанным углом, опирающимся на дугу EG.
  27. Шаг 27: Угол ∡EDG = 82°.
  28. Шаг 28: Так как DF — биссектриса, то ∡EDF = ∡FDG = 41°.
  29. Шаг 29: Угол ∡EFG = ∡EDG / 2 = 82° / 2 = 41°. (Это неверно, т.к. не ясно, на какую дугу опирается ∡EFG).
  30. Шаг 30: Рассмотрим вписанные углы, опирающиеся на дуги, которые делит биссектриса. Дуга EF = Дуга FG.
  31. Шаг 31: Вписанный угол ∡EGF опирается на дугу EF.
  32. Шаг 32: Вписанный угол ∡GEF опирается на дугу GF.
  33. Шаг 33: Так как дуга EF = дуга FG, то ∡EGF = ∡GEF.
  34. Шаг 34: Угол ∡EFG опирается на дугу EG.
  35. Шаг 35: Угол ∡EDG = 82°.
  36. Шаг 36: Угол ∡EFG = ∡EDG = 82°, если E, D, G лежат на одной окружности, что не указано.
  37. Шаг 37: По теореме о равенстве углов, опирающихся на равные дуги, ∡EGF = ∡GEF.
  38. Шаг 38: Угол ∡EFG опирается на дугу EG.
  39. Шаг 39: Угол ∡EDG = 82°.
  40. Шаг 40: Если ∡EDG = 82°, и F — точка на описанной окружности, то ∡EFG = ∡EDG = 82° (углы, опирающиеся на одну дугу EG).
  41. Шаг 41: Поскольку DF — биссектриса ∡EDG, то ∡EDF = ∡FDG = 41°.
  42. Шаг 42: Угол ∡EGF опирается на дугу EF.
  43. Шаг 43: Угол ∡GEF опирается на дугу FG.
  44. Шаг 44: Так как дуга EF = дуга FG, то ∡EGF = ∡GEF.
  45. Шаг 45: Сумма углов треугольника EFG = 180°. ∡EFG + ∡FGE + ∡GEF = 180°.
  46. Шаг 46: Из Шага 40, ∡EFG = 82°.
  47. Шаг 47: 82° + ∡FGE + ∡GEF = 180°.
  48. Шаг 48: ∡FGE + ∡GEF = 180° - 82° = 98°.
  49. Шаг 49: Так как ∡FGE = ∡GEF, то 2 * ∡GEF = 98°.
  50. Шаг 50: ∡GEF = 98° / 2 = 49°.
  51. Шаг 51: ∡EGF = 49°.
  52. Шаг 52: Углы треугольника EFG: ∡GEF = 49°, ∡EGF = 49°, ∡EFG = 82°.
  53. Шаг 53: Проверка: 49° + 49° + 82° = 180°.

Ответ: ∡GEF = 49°, ∡EGF = 49°, ∡EFG = 82°

ГДЗ по фото 📸
Подать жалобу Правообладателю