Биссектриса угла В треугольника АВС пересекает описанную около этого треугольника окружность в точке D. Найдите углы треугольника ADC, если угол \(\angle\) ABC = 80°.

Решение:

Так как точка D лежит на описанной окружности, то четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны.

1. Угол \( ∠{ADC} \) опирается на дугу ABC. Угол \( ∠{ABC} \) также опирается на дугу ADC.
2. Угол \( ∠{BAD} \) опирается на дугу BCD. Угол \( ∠{BCD} \) опирается на дугу BAD.
3. Вписанные углы, опирающиеся на диаметр, равны 90°.
4. Угол \( ∠{BAC} \) и \( ∠{BDC} \) опираются на одну дугу BC, значит \( ∠{BAC} = ∠{BDC} \).
5. Угол \( ∠{BCA} \) и \( ∠{BDA} \) опираются на одну дугу BA, значит \( ∠{BCA} = ∠{BDA} \).
6. Угол \( ∠{ABC} = 80° \).
7. По условию, BD — биссектриса угла B. Следовательно, \( ∠{ABD} = ∠{CBD} = \frac{1}{2} ∠{ABC} = \frac{1}{2} ∠{80°} = 40° \).
8. В треугольнике BCD: \( ∠{BCD} + ∠{CBD} + ∠{BDC} = 180° \). \( ∠{BCD} + 40° + ∠{BDC} = 180° \).
9. Вписанные углы \( ∠{BDC} \) и \( ∠{BAC} \) равны, так как опираются на одну дугу BC.
10. Вписанные углы \( ∠{BDA} \) и \( ∠{BCA} \) равны, так как опираются на одну дугу BA.
11. Угол \( ∠{ADC} \) состоит из углов \( ∠{ADB} + ∠{BDC} \).
12. Угол \( ∠{ADC} \) является вписанным углом, опирающимся на дугу ABC. Величина этой дуги равна удвоенному углу, опирающемуся на нее.
13. Сумма углов четырёхугольника ABCD равна 360°. \( ∠{BAD} + ∠{ABC} + ∠{BCD} + ∠{CDA} = 360° \).
14. Вписанный угол \( ∠{ABC} \) равен 80°.
15. Угол \( ∠{ADC} \) опирается на дугу ABC. Так как \( ∠{ABC} \) — вписанный угол, то он равен половине дуги ADC. \( \text{Дуга } ADC = 2 ∠{ABC} = 2 ∠{80°} = 160° \).
16. Угол \( ∠{ADC} \) опирается на дугу ABC. Дуга ABC = \( 360° - \text{дуга } ADC = 360° - 160° = 200° \).
17. Угол \( ∠{ADC} \) равен половине дуги ABC: \( ∠{ADC} = \frac{1}{2} \text{дуга } ABC = \frac{1}{2} ∠{200°} = 100° \).
18. В треугольнике ADC: \( ∠{DAC} + ∠{ACD} + ∠{ADC} = 180° \). \( ∠{DAC} + ∠{ACD} + 100° = 180° \). \( ∠{DAC} + ∠{ACD} = 80° \).
19. Угол \( ∠{DAC} \) равен \( ∠{BAC} \). Угол \( ∠{ACD} \) равен \( ∠{BCA} \).
20. Угол \( ∠{BAD} \) + \( ∠{BCD} = 180° \) (сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника).
21. Угол \( ∠{ABC} = 80° \).
22. \( ∠{ABD} = ∠{CBD} = 40° \).
23. \( ∠{ADC} = 180° - ∠{ABC} = 180° - 80° = 100° \) (сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника).
24. Теперь рассмотрим треугольник ADC. Сумма углов в треугольнике равна 180°. \( ∠{DAC} + ∠{ACD} + ∠{ADC} = 180° \). \( ∠{DAC} + ∠{ACD} + 100° = 180° \). \( ∠{DAC} + ∠{ACD} = 80° \).
25. Угол \( ∠{DAC} = ∠{BAC} \) и \( ∠{ACD} = ∠{BCA} \).
26. Для нахождения \( ∠{DAC} \) и \( ∠{ACD} \) нам нужны дополнительные условия.
27. Однако, мы можем найти \( ∠{BAC} \) и \( ∠{BCA} \) если известны другие углы треугольника ABC.
28. Ключевой момент: Угол \( ∠{ADC} \) является вписанным углом, опирающимся на дугу ABC. Угол \( ∠{ABC} \) является вписанным углом, опирающимся на дугу ADC.
29. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.
30. \( ∠{ADC} \) и \( ∠{ABC} \) опираются на разные дуги.
31. \( ∠{ADC} \) опирается на дугу ABC. \( ∠{ABC} \) опирается на дугу ADC.
32. Свойство вписанного четырёхугольника: Сумма противоположных углов равна 180°.
33. \( ∠{ADC} + ∠{ABC} = 180° \). \( ∠{ADC} + 80° = 180° \). \( ∠{ADC} = 180° - 80° = 100° \).
34. Теперь нам нужно найти \( ∠{DAC} \) и \( ∠{ACD} \) в треугольнике ADC.
35. \( ∠{DAC} = ∠{BAC} \). \( ∠{ACD} = ∠{BCA} \).
36. Мы знаем, что BD — биссектриса угла B, то есть \( ∠{ABD} = ∠{CBD} = 40° \).
37. Вписанные углы \( ∠{CAD} \) и \( ∠{CBD} \) опираются на одну дугу CD. Значит, \( ∠{CAD} = ∠{CBD} = 40° \).
38. Вписанные углы \( ∠{ACD} \) и \( ∠{ABD} \) опираются на одну дугу AD. Значит, \( ∠{ACD} = ∠{ABD} = 40° \).
39. Теперь в треугольнике ADC:
40. \( ∠{DAC} = 40° \).
41. \( ∠{ACD} = 40° \).
42. \( ∠{ADC} = 100° \).
43. Проверка: \( 40° + 40° + 100° = 180° \).
44. Таким образом, треугольник ADC является равнобедренным, так как \( ∠{DAC} = ∠{ACD} \).

Ответ: углы треугольника ADC равны 40°, 40°, 100°.