678 Биссектрисы АА₁ и ВВ₁ треугольника АВС пересекаются в точке М. Найдите углы АСМ и ВСМ, если: а) ZAMB = 136°; б) ZAMB = 111°.

Для решения этой задачи нам понадобятся знания о свойствах биссектрис треугольника и сумме углов треугольника. а) ∠AMB = 136° Так как AM и BM - биссектрисы углов A и B, то: $$∠MAB = \frac{1}{2} ∠A$$ $$∠MBA = \frac{1}{2} ∠B$$ Рассмотрим треугольник AMB. Сумма углов в треугольнике равна 180°: $$∠AMB + ∠MAB + ∠MBA = 180°$$ Подставим известные значения: $$136° + \frac{1}{2} ∠A + \frac{1}{2} ∠B = 180°$$ $$\frac{1}{2} ∠A + \frac{1}{2} ∠B = 180° - 136°$$ $$\frac{1}{2} (∠A + ∠B) = 44°$$ $$∠A + ∠B = 88°$$ В треугольнике ABC сумма углов равна 180°: $$∠A + ∠B + ∠C = 180°$$ $$88° + ∠C = 180°$$ $$∠C = 180° - 88° = 92°$$ Так как CM - биссектриса угла C, то: $$∠ACM = ∠BCM = \frac{1}{2} ∠C$$ $$∠ACM = ∠BCM = \frac{1}{2} * 92° = 46°$$ Ответ: ∠ACM = ∠BCM = 46° б) ∠AMB = 111° Рассуждаем аналогично пункту a): $$∠AMB + ∠MAB + ∠MBA = 180°$$ $$111° + \frac{1}{2} ∠A + \frac{1}{2} ∠B = 180°$$ $$\frac{1}{2} (∠A + ∠B) = 180° - 111°$$ $$\frac{1}{2} (∠A + ∠B) = 69°$$ $$∠A + ∠B = 138°$$ В треугольнике ABC: $$∠A + ∠B + ∠C = 180°$$ $$138° + ∠C = 180°$$ $$∠C = 180° - 138° = 42°$$ Так как CM - биссектриса угла C: $$∠ACM = ∠BCM = \frac{1}{2} ∠C$$ $$∠ACM = ∠BCM = \frac{1}{2} * 42° = 21°$$ Ответ: ∠ACM = ∠BCM = 21°