Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика
Ответ:
Обозначим стороны параллелограмма $$AB = CD = x$$, $$BC = AD = y$$. Биссектриса угла $$A$$ отсекает равнобедренный треугольник $$ABE$$, так как $$\angle BAE = \angle DAE = \angle BEA$$ (как накрест лежащие при параллельных прямых $$AD$$ и $$BC$$ и секущей $$AE$$). Следовательно, $$AB = BE = x = 10$$ см.
Сторона $$BC = BE + EC = 10 + 3 = 13$$ см. Тогда $$y = 13$$ см.
Периметр параллелограмма равен $$P = 2(x + y) = 2(10 + 13) = 2 \cdot 23 = 46$$ см.
Рассмотрим треугольник $$ABK$$. Так как $$AK$$ и $$BK$$ - биссектрисы углов $$A$$ и $$B$$ параллелограмма, сумма углов $$A$$ и $$B$$ равна $$180^{\circ}$$ (как внутренние односторонние углы при параллельных прямых $$AB$$ и $$CD$$ и секущей $$AD$$). Следовательно, $$\angle BAK + \angle ABK = \frac{1}{2} \cdot (\angle A + \angle B) = \frac{1}{2} \cdot 180^{\circ} = 90^{\circ}$$. Значит, $$\angle AKB = 180^{\circ} - (\angle BAK + \angle ABK) = 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ}$$, то есть треугольник $$ABK$$ - прямоугольный.
Для нахождения длины отрезка $$AK$$ воспользуемся теоремой косинусов для треугольника $$ABE$$: $$BE^2 = AB^2 + AE^2 - 2 \cdot AB \cdot AE \cdot \cos(\angle BAE)$$
$$10^2 = 10^2 + 12^2 - 2 \cdot 10 \cdot 12 \cdot \cos(\angle BAE)$$ $$0 = 144 - 240 \cdot \cos(\angle BAE)$$ $$\cos(\angle BAE) = \frac{144}{240} = \frac{12}{20} = \frac{3}{5}$$
Тогда $$\angle BAE = \arccos(\frac{3}{5}) \approx 53.13^{\circ}$$. $$\angle A = 2 \cdot \arccos(\frac{3}{5}) \approx 106.26^{\circ}$$.
Для нахождения длины $$AK$$ используем теорему косинусов в треугольнике $$ABK$$: $$BK^2 = AB^2 + AK^2 - 2 \cdot AB \cdot AK \cdot \cos(\angle BAK)$$ В прямоугольном треугольнике $$ABK$$: $$AK = \frac{AB}{\cos(\angle BAK)} = \frac{10}{\cos(\frac{\angle A}{2})} = \frac{10}{\cos(\arccos(\frac{3}{5}))} = \frac{10}{\frac{3}{5}} = \frac{50}{3} \approx 16.67$$ см.
Ответ:
Периметр (в см) параллелограмма $$ABCD$$: 46.
Длина (в см) отрезка $$AK$$: 16.67.
