Биссектрисы углов А и D параллелограмма ABCD пересекаются на стороне ВС. Найдите периметр параллелограмма ABCD, если АВ = 8.

Пусть биссектрисы углов А и D пересекаются в точке М на стороне ВС.

Так как AM - биссектриса угла А, то $$\angle BAM = \angle MAD$$. Так как AD || BC, то $$\angle MAD = \angle AMB$$ как накрест лежащие углы. Следовательно, $$\angle BAM = \angle AMB$$, что означает, что треугольник ABM равнобедренный с основанием AB. Значит, BM = AB = 8.

Аналогично, так как DM - биссектриса угла D, то $$\angle ADM = \angle MDC$$. Так как AD || BC, то $$\angle ADM = \angle DMC$$ как накрест лежащие углы. Следовательно, $$\angle MDC = \angle DMC$$, что означает, что треугольник DMC равнобедренный с основанием DC. Значит, MC = DC.

Так как ABCD - параллелограмм, то AB = DC = 8 и AD = BC.

BC = BM + MC. Так как MC = DC = 8, то BC = 8 + 8 = 16.

Периметр параллелограмма равен 2 * (AB + BC) = 2 * (8 + 16) = 2 * 24 = 48.