12. Биссектрисы углов А и D параллелограмма ABCD пересекаются в точке, лежащей на стороне BC. Найдите АВ, если ВС = 34.

Пусть точка пересечения биссектрис углов A и D — точка K, лежащая на стороне BC.

Так как AK — биссектриса угла A, то \(\angle BAK = \angle KAD\).

Так как DK — биссектриса угла D, то \(\angle ADK = \angle KDC\).

Поскольку ABCD — параллелограмм, то \(AD \parallel BC\), следовательно, \(\angle KAD = \angle AKB\) (накрест лежащие углы).

Таким образом, \(\angle BAK = \angle AKB\), а значит, треугольник ABK — равнобедренный, и \(AB = BK\).

Аналогично, так как \(AD \parallel BC\), то \(\angle ADK = \angle DKC\) (накрест лежащие углы).

Таким образом, \(\angle KDC = \angle DKC\), а значит, треугольник CDK — равнобедренный, и \(CD = CK\).

Так как \(ABCD\) – параллелограмм, то \(AB = CD\) и \(BC = AD\). Значит, \(BK = AB\) и \(CK = CD\), следовательно, \(BK + KC = BC\).

Получаем, что \(BC = BK + KC = AB + CD = AB + AB = 2AB\), так как \(AB = CD\).

Тогда \(2AB = BC\), а значит, \(AB = \frac{BC}{2} = \frac{34}{2} = 17\).

Ответ: AB = 17