Биссектрисы углов A и D параллелограмма ABCD пересекаются в точке М, лежащей на стороне BC. Найдите периметр параллелограмма ABCD, если AB=10.

Решение:

1. Свойства параллелограмма: Противоположные стороны параллелограмма равны (AB = CD, BC = AD) и параллельны (AB || CD, BC || AD).
2. Свойства биссектрисы: Биссектриса делит угол пополам.
3. Пересечение биссектрис: В параллелограмме биссектрисы углов A и D пересекаются в точке M на стороне BC.
4. Равенство отрезков: Так как AM — биссектриса угла A, то ∠BAM = ∠DAM. Так как AD || BC, то ∠DAM = ∠AMB (как накрест лежащие углы при параллельных прямых AD и BC и секущей AM). Следовательно, ∠BAM = ∠AMB. Треугольник ABM является равнобедренным с основанием BM. Значит, AB = BM.
5. Аналогично для биссектрисы угла D: DM — биссектриса угла D, ∠ADM = ∠CDM. Так как AD || BC, то ∠ADM = ∠DMC (как накрест лежащие). Следовательно, ∠CDM = ∠DMC. Треугольник CDM является равнобедренным с основанием CM. Значит, CD = CM.
6. Связь сторон: Поскольку AB = CD, то BM = CD и CM = AB.
7. Длина стороны BC: BC = BM + CM. Подставляя равенства, получаем BC = CD + AB. Так как CD = AB, то BC = AB + AB = 2 * AB.
8. Вычисление периметра: Периметр параллелограмма P = 2 * (AB + BC). Подставляем BC = 2 * AB: P = 2 * (AB + 2 * AB) = 2 * (3 * AB) = 6 * AB.
9. Подстановка значения AB: Дано, что AB = 10. Периметр P = 6 * 10 = 60.

Ответ: Периметр параллелограмма равен 60.