Биссектрисы углов А и В параллелограмма ABCD пересекаются в точке К. Биссектриса АЕ, длина которой равна 12 см, делит сторону ВС параллелограмма на отрезки ВЕ = 10 см и ЕС = 3 см. Найдите периметр (в см) параллелограмма АBCD. Найдите длину (в см) отрезка АК.

Для решения этой задачи, необходимо воспользоваться свойствами параллелограмма и биссектрис углов. 1. Найдем сторону BC параллелограмма: Сторона BC состоит из отрезков BE и EC. Следовательно, $$BC = BE + EC = 10 + 3 = 13 ext{ см}$$ 2. Найдем сторону AD параллелограмма: В параллелограмме противоположные стороны равны, значит, $$AD = BC = 13 ext{ см}$$ 3. Рассмотрим треугольник ABE: В параллелограмме ABCD углы при одной стороне в сумме составляют 180 градусов. Так как AE - биссектриса угла A, то угол BAE равен половине угла A. Пусть угол BAE = \(\alpha\). Так как AE - биссектриса, то $$\angle BAE = \angle DAE = \alpha$$. 4. Найдем сторону AB параллелограмма: В параллелограмме противоположные стороны равны, значит, $$AB = CD = 12 \text{ см}$$ 5. Найдем периметр параллелограмма ABCD: Периметр параллелограмма равен сумме длин всех его сторон: $$P = 2(AB + BC) = 2(12 + 13) = 2 \cdot 25 = 50 ext{ см}$$ 6. Найдем длину отрезка AK: Рассмотрим треугольник ABK. Сумма углов треугольника равна 180 градусам. $$\angle BAK + \angle ABK + \angle AKB = 180^{\circ}$$ Так как AK и BK - биссектрисы, то углы BAK и ABK равны половине углов A и B соответственно. Пусть $$\angle BAK = \frac{A}{2}$$ и $$\angle ABK = \frac{B}{2}$$. Тогда: $$\frac{A}{2} + \frac{B}{2} + \angle AKB = 180^{\circ}$$ $$\frac{A+B}{2} + \angle AKB = 180^{\circ}$$ Так как A + B = 180^{\circ} (как углы при одной стороне параллелограмма), то: $$\frac{180^{\circ}}{2} + \angle AKB = 180^{\circ}$$ $$90^{\circ} + \angle AKB = 180^{\circ}$$ $$\angle AKB = 90^{\circ}$$ То есть, треугольник ABK - прямоугольный. Так как $$\angle ABK = \frac{B}{2}$$ и $$BE=10$$ см, то $$\cos \frac{B}{2} = \frac{BE}{AB} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6}$$. Угол $$\frac{B}{2} = \arccos \frac{5}{6} \approx 33.56^{\circ}$$. Тогда угол $$B \approx 67.12^{\circ}$$. И угол $$A = 180^{\circ} - 67.12^{\circ} = 112.88^{\circ}$$. Следовательно, $$\frac{A}{2} = 56.44^{\circ}$$. Длину AK можно найти, зная длину AB и угол BAK. $$\frac{AB}{AK} = \cos \frac{A}{2}$$ $$AK = \frac{AB}{\cos \frac{A}{2}} = \frac{12}{\cos 56.44^{\circ}} \approx \frac{12}{0.552} \approx 21.74 \text{ см}$$ Ответ: Периметр параллелограмма ABCD равен 50 см. Длина отрезка AK равна примерно 21.74 см.