9. Биссектрисы углов А и В параллелограмма ABCD пересекаются в точке М, лежащей на стороне CD. Докажите, что М – середина CD.

Пусть ABCD – параллелограмм, AM и BM – биссектрисы углов A и B соответственно, M лежит на CD. Докажем, что M – середина CD.

1. Так как AM – биссектриса угла A, то ∠BAM = ∠MAD. Так как ABCD – параллелограмм, то BC || AD, а AM – секущая. Значит, ∠BAM = ∠AMD как накрест лежащие углы. Следовательно, ∠MAD = ∠AMD.

2. Рассмотрим треугольник AMD. Так как ∠MAD = ∠AMD, то треугольник AMD – равнобедренный, и AM = AD.

3. Аналогично, так как BM – биссектриса угла B, то ∠ABM = ∠MBC. Так как AB || CD, а BM – секущая, то ∠ABM = ∠BMC как накрест лежащие углы. Следовательно, ∠MBC = ∠BMC.

4. Рассмотрим треугольник BCM. Так как ∠MBC = ∠BMC, то треугольник BCM – равнобедренный, и BC = CM.

5. Так как ABCD – параллелограмм, то AD = BC. Из пунктов 2 и 4 получаем, что AD = AM = BC = CM.

6. Следовательно, AM = CM. Но AM = DM (треугольник AMD равнобедренный). Значит, DM = CM. Таким образом, M – середина CD.

Что и требовалось доказать.