25. Биссектрисы углов В и С параллелограмма ABCD пересекаются в точке Е. Найдите площадь параллелограмма, если АВ = 15, а расстояние от точки Е до стороны ВС равно 6.

Для решения этой задачи нам понадобятся свойства параллелограмма и биссектрис углов.

Поскольку биссектрисы углов B и C параллелограмма ABCD пересекаются в точке E, то $$\angle EBC = \frac{1}{2} \angle B$$ и $$\angle ECB = \frac{1}{2} \angle C$$.

Сумма углов B и C параллелограмма, прилежащих к одной стороне, равна 180 градусам, то есть $$\angle B + \angle C = 180^{\circ}$$. Тогда $$\frac{1}{2} \angle B + \frac{1}{2} \angle C = 90^{\circ}$$, следовательно, $$\angle EBC + \angle ECB = 90^{\circ}$$.

В треугольнике EBC сумма углов равна 180 градусам, значит, $$\angle BEC = 180^{\circ} - (\angle EBC + \angle ECB) = 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ}$$. Следовательно, треугольник EBC - прямоугольный.

Так как биссектрисы углов В и С пересекаются в точке Е, и расстояние от точки Е до стороны ВС равно 6, то высота прямоугольного треугольника EBC, опущенная из вершины E к гипотенузе BC, равна 6. Поскольку EBC - прямоугольный, то E лежит на окружности с диаметром BC. Кроме того, центр этой окружности находится на середине BC, и это - точка O (середина BC), то EO=BO=CO.

Рассмотрим четырехугольник ABEO. Из условия следует, что ABCD - параллелограмм, следовательно углы B и A - смежные. По условию задачи AB = 15, тогда AD = BC. Опустим высоту из точки Е к стороне ВС, пусть это будет точка H, тогда ЕН = 6.

Так как EO = BO = CO, а также EO = AH (по условию) и BC = AD, то высота параллелограмма ABCD равна 2*EH = 2*6 = 12.

Площадь параллелограмма ABCD равна S = AB × высота = 15 × 12.

S = 180.

Ответ: 180.