Биссектрисы всех углов параллелограмма пересекаются в четырёх точках. Докажите, что эти точки образуют прямоугольник.

Доказательство:

1. Пусть ABCD – параллелограмм, биссектрисы углов A, B, C и D пересекаются в точках P, Q, R и S.
2. Биссектрисы углов A и B пересекаются в точке P, следовательно, ∠PAB + ∠PBA = 1/2(∠A + ∠B) = 1/2 * 180° = 90°. Значит, ∠APB = 90°, и треугольник APB – прямоугольный.
3. Аналогично, ∠CRD = 90°.
4. Так как ∠A + ∠D = 180°, то ∠PAD + ∠PDA = 90°, следовательно, ∠APD = 90°.
5. Аналогично, ∠BQC = 90°.
6. Таким образом, четырехугольник PQRS – прямоугольник, так как все его углы прямые.