Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: Блок №3. Решите уравнения: №1 \((x+1)^4+(x+1)^2-6=0\); №2 \((x+3)^4+2(x+3)^2-8=0\); №3 \((x-1)^4-2(x-1)^2-3=0\); №4…Фото задания

Ответ:

Во всех уравнениях введём замену: квадрат выражения в скобках обозначим через новую переменную. Решаем полученное квадратное уравнение и учитываем, что квадрат действительного числа неотрицателен.

  1. Пусть \(t=(x+1)^2\), где \(t\geq0\). Тогда \(t^2+t-6=0\), то есть \((t+3)(t-2)=0\). Подходит \(t=2\). Значит, \((x+1)^2=2\), откуда \(x=-1\pm\sqrt2\).

  2. Пусть \(t=(x+3)^2\), где \(t\geq0\). Тогда \(t^2+2t-8=0\), то есть \((t+4)(t-2)=0\). Подходит \(t=2\). Поэтому \((x+3)^2=2\), и \(x=-3\pm\sqrt2\).

  3. Пусть \(t=(x-1)^2\), где \(t\geq0\). Тогда \(t^2-2t-3=0\), то есть \((t-3)(t+1)=0\). Подходит \(t=3\). Следовательно, \((x-1)^2=3\), откуда \(x=1\pm\sqrt3\).

  4. Пусть \(t=(x-2)^2\), где \(t\geq0\). Тогда \(t^2-t-6=0\), то есть \((t-3)(t+2)=0\). Подходит \(t=3\). Значит, \((x-2)^2=3\), и \(x=2\pm\sqrt3\).

  5. Пусть \(t=(x+4)^2\), где \(t\geq0\). Тогда \(t^2-6t-7=0\), то есть \((t-7)(t+1)=0\). Подходит \(t=7\). Поэтому \((x+4)^2=7\), откуда \(x=-4\pm\sqrt7\).

  6. Пусть \(t=(x+2)^2\), где \(t\geq0\). Тогда \(t^2+t-12=0\), то есть \((t+4)(t-3)=0\). Подходит \(t=3\). Значит, \((x+2)^2=3\), и \(x=-2\pm\sqrt3\).

Ответ: №1: \(-1\pm\sqrt2\); №2: \(-3\pm\sqrt2\); №3: \(1\pm\sqrt3\); №4: \(2\pm\sqrt3\); №5: \(-4\pm\sqrt7\); №6: \(-2\pm\sqrt3\).