Блок III Логарифмы. Логарифмические уравнения. №1. Найдите значение выражения: 1) (log₂4) \(\cdot\) (log₃81) 2) \(\frac{log_3 5}{log_3 7}\) + log_7 0,2 3) 16^{log_4 7}

Решение:

1. 1) (log₂4) \(\cdot\) (log₃81)
   Найдём значение каждого логарифма:
   \( log_2 4 = 2 \), так как \( 2^2 = 4 \).
   \( log_3 81 = 4 \), так как \( 3^4 = 81 \).
   Перемножим полученные значения: \( 2 \cdot 4 = 8 \).
2. 2) \(\frac{log_3 5}{log_3 7} + log_7 0,2\)
   Используем формулу смены основания логарифма: \( \frac{log_a b}{log_a c} = log_c b \).
   \( \frac{log_3 5}{log_3 7} = log_7 5 \).
   Выражение примет вид: \( log_7 5 + log_7 0,2 \).
   Используем свойство логарифма \( log_c a + log_c b = log_c (a \cdot b) \).
   \( log_7 (5 \cdot 0,2) = log_7 1 \).
   Значение логарифма по любому основанию от 1 равно 0: \( log_7 1 = 0 \).
3. 3) 16^log₄7
   Представим 16 как \( 4^2 \).
   Выражение примет вид: \( (4^2)^{log_4 7} \).
   Используем свойство степени \( (a^m)^n = a^{mn} \): \( 4^{2 \cdot log_4 7} \).
   Используем свойство логарифма \( k \cdot log_a b = log_a b^k \): \( 4^{log_4 7^2} \).
   Используем основное логарифмическое тождество \( a^{log_a b} = b \): \( 4^{log_4 49} = 49 \).

Ответ: 1) 8; 2) 0; 3) 49.