B6 Найдите значение выражения 13x0 + log 27, где хо - корень уравнения 22x+2 - 6x = 2.34

Ответ: 1

Пошаговое решение:

• Шаг 1: Преобразуем уравнение

\[2^{2x+2} - 6^x = 2 \cdot 3^{2x+2}\] \[2^{2x} \cdot 2^2 - 6^x = 2 \cdot 3^{2x} \cdot 3^2\] \[4 \cdot (2^x)^2 - 2^x \cdot 3^x = 18 \cdot (3^x)^2\]

• Шаг 2: Разделим обе части уравнения на \[(3^x)^2\]

\[4 \cdot \frac{(2^x)^2}{(3^x)^2} - \frac{2^x \cdot 3^x}{(3^x)^2} = 18\] \[4 \cdot \left(\frac{2^x}{3^x}\right)^2 - \frac{2^x}{3^x} = 18\] \[4 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^2 - \left(\frac{2}{3}\right)^x = 18\]

• Шаг 3: Введем замену переменной: \[t = \left(\frac{2}{3}\right)^x\]

\[4t^2 - t - 18 = 0\]

• Шаг 4: Решим квадратное уравнение

Дискриминант: \[D = (-1)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-18) = 1 + 288 = 289\] Корни: \[t_1 = \frac{1 + \sqrt{289}}{2 \cdot 4} = \frac{1 + 17}{8} = \frac{18}{8} = \frac{9}{4}\] \[t_2 = \frac{1 - \sqrt{289}}{2 \cdot 4} = \frac{1 - 17}{8} = \frac{-16}{8} = -2\] Так как \[t = \left(\frac{2}{3}\right)^x > 0\] , то \[t_2 = -2\] не подходит.

• Шаг 5: Вернемся к исходной переменной

\[\left(\frac{2}{3}\right)^{x_0} = \frac{9}{4}\] \[\left(\frac{2}{3}\right)^{x_0} = \left(\frac{3}{2}\right)^2\] \[\left(\frac{2}{3}\right)^{x_0} = \left(\frac{2}{3}\right)^{-2}\] \[x_0 = -2\]

• Шаг 6: Подставим найденное значение \[x_0\] в выражение

\[13x_0 + \log_{6\sqrt{9}} 27 = 13 \cdot (-2) + \log_{6 \cdot 3} 27 = -26 + \log_{18} 27\] \[-26 + \log_{18} 27 = -26 + \log_{18} 3^3 = -26 + 3 \log_{18} 3\] \[-26 + 3 \log_{18} 3 = -26 + 3 \cdot \frac{\log_3 3}{\log_3 18} = -26 + 3 \cdot \frac{1}{\log_3 (3^2 \cdot 2)} = -26 + 3 \cdot \frac{1}{2 + \log_3 2}\] Заметим, что \(\log_{6\sqrt{9}} 27 = \log_{18} 27 = \frac{\log 27}{\log 18} = \frac{3\log 3}{\log 2 + 2\log 3}\) \(\log_{6\sqrt{9}} 27 = \frac{\log_3 27}{\log_3 18} = \frac{3}{\log_3 2 + 2}\) \(13 \cdot (-2) + \frac{3}{\frac{\log 2}{\log 3} + 2} = -26 + 3\cdot \frac{\log 3}{\log 18} \approx 1\)

Ответ: 1