B7 Найдите значение выражения 1 1 1+a8 a-1 8-1 при а = 81.

1. Шаг 1: Упрощаем выражение.
\[\frac{\left(1 + a^{\frac{1}{8}}\right)}{\left(a^{\frac{1}{8}} - 1\right)} \div a^{-\frac{1}{8} - 1} = \frac{\left(1 + a^{\frac{1}{8}}\right)}{\left(a^{\frac{1}{8}} - 1\right)} \cdot \frac{1}{a^{-\frac{1}{8} - 1}} = \frac{\left(1 + a^{\frac{1}{8}}\right)}{\left(a^{\frac{1}{8}} - 1\right)} \cdot a^{\frac{1}{8} + 1}\]
2. Шаг 2: Подставляем значение a = 81.

\(81 = 3^4\), следовательно, \(81^{\frac{1}{8}} = (3^4)^{\frac{1}{8}} = 3^{\frac{1}{2}} = \sqrt{3}\)

Подставляем \(\sqrt{3}\) в выражение:

\[\frac{\left(1 + \sqrt{3}\right)}{(\sqrt{3} - 1)} \cdot (\sqrt{3} + 1) = \frac{(1 + \sqrt{3})(\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3} - 1)} = \frac{(1 + \sqrt{3})^2}{(\sqrt{3} - 1)}\]
3. Шаг 3: Раскрываем скобки и упрощаем.
\[\frac{1 + 2\sqrt{3} + 3}{\sqrt{3} - 1} = \frac{4 + 2\sqrt{3}}{\sqrt{3} - 1} = \frac{2(2 + \sqrt{3})}{\sqrt{3} - 1}\]

Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение \((\sqrt{3} + 1)\):

\[\frac{2(2 + \sqrt{3})(\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1)} = \frac{2(2\sqrt{3} + 2 + 3 + \sqrt{3})}{3 - 1} = \frac{2(5 + 3\sqrt{3})}{2} = 5 + 3\sqrt{3}\]

Ответ: \(5 + 3\sqrt{3}\)