6) BO = √2, MC = √3, ∠((MDC); (ABC)) = ?

Пошаговое решение:

• В основании пирамиды лежит квадрат, так как это правильная пирамида. BO = \(\sqrt{2}\) — половина диагонали квадрата. Значит, диагональ квадрата BD = \(2\sqrt{2}\).
• Сторона квадрата \(a = \frac{BD}{\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 2\).
• Пусть MO — высота пирамиды. Тогда треугольник MOC — прямоугольный, где MC = \(\sqrt{3}\), OC = \(\sqrt{2}\).
• По теореме Пифагора: \(MO = \sqrt{MC^2 - OC^2} = \sqrt{(\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2} = \sqrt{3 - 2} = 1\).
• Рассмотрим треугольник MDC. MC = MD = \(\sqrt{3}\), DC = 2. Пусть MH — высота, проведенная к стороне DC.
• Так как треугольник MDC равнобедренный, MH является медианой, и DH = HC = 1.
• Из прямоугольного треугольника MHC: \(MH = \sqrt{MC^2 - HC^2} = \sqrt{(\sqrt{3})^2 - 1^2} = \sqrt{3 - 1} = \sqrt{2}\).
• Искомый угол — это угол MHO. Рассмотрим прямоугольный треугольник MHO.
• \(tg(∠MHO) = \frac{MO}{OH} = \frac{1}{1} = 1\).
• ∠MHO = arctg(1) = 45°.

Ответ: 45°