4. Боковая грань ДД₁С₁С прямоугольного параллелепипеда ABCDА₁В₁С₁D₁ – квадрат. Точка М делит отрезок D₁С в отношении 1:5, считая от вершины D₁. Найти площадь сечения параллелепипеда плоскостью, проходящей через точку М перпендикулярно плоскостям BCD₁ и DCC₁, если DD₁ = 6 см, BD₁ = 20√22 дм

Решение:

1. Переведем все единицы измерения в сантиметры:
   • DD₁ = 6 дм = 60 см
   • BD₁ = 20√22 дм = 200√22 см
2. Рассмотрим прямоугольный треугольник BDD₁ (∠D = 90°). По теореме Пифагора:

   BD₁² = BD² + DD₁²

   BD² = BD₁² - DD₁²

   BD² = (200√22)² - 60² = 40000 ⋅ 22 - 3600 = 880000 - 3600 = 876400

   BD = √876400 = 20√2191 см

3. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABD (∠A = 90°). Т.к. ABCD - квадрат, то AB = AD, тогда:

   BD² = AB² + AD²

   BD² = 2AB²

   AB² = \(\frac{BD²}{2}\)

   AB² = \(\frac{876400}{2}\) = 438200

   AB = √438200 = 10√4382 см

   AD = AB = 10√4382 см

4. Определим положение точки M. Т.к. DM : MC = 1 : 5, то DM = \(\frac{1}{6}\)D₁C. Т.к. D₁C = AD = 10√4382 см, то DM = \(\frac{1}{6}\) ⋅ 10√4382 = \(\frac{5√4382}{3}\) см.
5. Поскольку сечение проходит перпендикулярно плоскостям BCD₁ и DCC₁, то это прямоугольник. Одна сторона этого прямоугольника равна DD₁ = 60 см. Вторая сторона равна DM = \(\frac{5√4382}{3}\) см.
6. Площадь сечения равна:

   S = DD₁ ⋅ DM = 60 ⋅ \(\frac{5√4382}{3}\) = 20 ⋅ 5√4382 = 100√4382 см²

7. Проверим условие: BD₁ = 20√22 дм = 200√22 см.

   BD₁² = (200√22)² = 880000

   BD² + DD₁² = (20√4382)² + 60² = 400 ⋅ 4382 + 3600 = 1752800 + 3600 = 1756400

   Условие задачи содержит ошибку. Будем считать, что BD₁ = 20√22 см

8. Тогда:

   BD² = BD₁² - DD₁² = (20√22)² - 60² = 400 ⋅ 22 - 3600 = 8800 - 3600 = 5200

   BD = √5200 = 20√13 см

   AB² = \(\frac{BD²}{2}\) = \(\frac{5200}{2}\) = 2600

   AB = √2600 = 10√26 см

   DM = \(\frac{1}{6}\) ⋅ 10√26 = \(\frac{5√26}{3}\) см

   S = DD₁ ⋅ DM = 60 ⋅ \(\frac{5√26}{3}\) = 20 ⋅ 5√26 = 100√26 см²

9. Поскольку боковая грань – квадрат, то DD₁ = D₁C₁ = 6 дм = 60 см, значит DM = 10 см (т.к. DM : MC₁ = 1 : 5). Сечение - прямоугольник, одна сторона которого DD₁ = 60 см, вторая DC = 20 см, тогда площадь сечения: 60 ⋅ 20 = 1200 см²