Боковая грань усечённой четырёхугольной пирамиды наклонена к плоскости основания под углом 60°. Найди площадь полной поверхности пирамиды, если высота пирамиды равна 6\sqrt{3}, а сторона меньшего основания — 5.

Пошаговое решение:

• Шаг 1: Найдем сторону большего основания.

  Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды, разностью сторон оснований и углом наклона боковой грани. Используем тангенс угла 60°:

  \[\tan(60^\circ) = \frac{h}{a - b}\]

  где h - высота пирамиды, a и b - стороны большего и меньшего оснований соответственно.

  Подставим известные значения:

  \[\sqrt{3} = \frac{6\sqrt{3}}{a - 5}\] \[a - 5 = 6\] \[a = 11\]

  Сторона большего основания равна 11.

• Шаг 2: Найдем площадь меньшего основания.

  Меньшее основание - квадрат со стороной 5, поэтому его площадь равна:

  \[S_{малого} = 5^2 = 25\]
• Шаг 3: Найдем площадь большего основания.

  Большее основание - квадрат со стороной 11, поэтому его площадь равна:

  \[S_{большого} = 11^2 = 121\]
• Шаг 4: Найдем площадь боковой поверхности.

  Боковая поверхность состоит из 4 трапеций. Найдем высоту трапеции (апофему l):

  \[\cos(60^\circ) = \frac{a-b}{2l}\] \[\frac{1}{2} = \frac{11-5}{2l}\] \[l = 6\]

  Площадь одной трапеции равна:

  \[S_{трап} = \frac{a + b}{2} \cdot l = \frac{11 + 5}{2} \cdot 6 = 48\]

  Тогда площадь боковой поверхности:

  \[S_{бок} = 4 \cdot S_{трап} = 4 \cdot 48 = 192\]
• Шаг 5: Найдем площадь полной поверхности.

  Площадь полной поверхности равна сумме площадей оснований и боковой поверхности:

  \[S_{полн} = S_{малого} + S_{большого} + S_{бок} = 25 + 121 + 192 = 338\]