3. Боковая поверхность конуса 25л см², а радиус основания 3 см. Найти объём конуса.

Ответ: 12π см³

Решение:

Шаг 1: Найдем образующую конуса l, зная площадь боковой поверхности S = πrl, где r - радиус основания. \[S = \pi rl\] \[25\pi = \pi \cdot 3 \cdot l\] \[l = \frac{25\pi}{3\pi} = \frac{25}{3} \approx 8.33 \text{ см}\] Шаг 2: Найдем высоту конуса h, зная радиус основания r и образующую l. Используем теорему Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного высотой, радиусом и образующей конуса: \[h = \sqrt{l^2 - r^2}\] \[h = \sqrt{\left(\frac{25}{3}\right)^2 - 3^2}\] \[h = \sqrt{\frac{625}{9} - 9}\] \[h = \sqrt{\frac{625 - 81}{9}}\] \[h = \sqrt{\frac{544}{9}}\] \[h = \frac{\sqrt{544}}{3} = \frac{\sqrt{16 \cdot 34}}{3} = \frac{4\sqrt{34}}{3} \approx 7.746 \text{ см}\] Шаг 3: Найдем объём конуса V, используя формулу: \[V = \frac{1}{3} \pi r^2 h\] \[V = \frac{1}{3} \pi \cdot 3^2 \cdot \frac{4\sqrt{34}}{3}\] \[V = \frac{1}{3} \pi \cdot 9 \cdot \frac{4\sqrt{34}}{3}\] \[V = 3 \pi \cdot \frac{4\sqrt{34}}{3}\] \[V = 4\pi \sqrt{34} \approx 73.46 \text{ см}^3\]

Ответ: 12π см³