Боковая сторона равнобедренного треугольника АВС равна 3, а основание АС равно 2. В этом треугольнике провели биссектрисы AL и СМ. Найдите длину отрезка LM.

Решение:

Дано равнобедренный треугольник ABC, где AB = BC = 3, AC = 2. AL и CM — биссектрисы.

1. Найдём длину биссектрисы AL.
   Используем формулу длины биссектрисы: \( l_a = \sqrt{bc(1 - (\frac{a}{b+c})^2)} \), где \( a \) — сторона, к которой проведена биссектриса, \( b \) и \( c \) — прилежащие стороны, \( l_a \) — длина биссектрисы. В нашем случае, для биссектрисы AL: \( a = BC = 3 \), \( b = AB = 3 \), \( c = AC = 2 \).
   \( AL = \sqrt{3 \cdot 2 \left(1 - \left(\frac{3}{3+2}\right)^2\right)} = \sqrt{6 \left(1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2\right)} = \sqrt{6 \left(1 - \frac{9}{25}\right)} = \sqrt{6 \left(\frac{16}{25}\right)} = \sqrt{\frac{96}{25}} = \frac{\sqrt{96}}{5} = \frac{4\sqrt{6}}{5} \).
2. Найдём длину биссектрисы CM.
   Аналогично для биссектрисы CM: \( a = AB = 3 \), \( b = BC = 3 \), \( c = AC = 2 \).
   \( CM = \sqrt{3 \cdot 2 \left(1 - \left(\frac{3}{3+2}\right)^2\right)} = \frac{4\sqrt{6}}{5} \).
3. Найдём длину отрезка LM.
   В треугольнике ABC, AL и CM — биссектрисы. Точка L лежит на BC, точка M лежит на AB. Треугольник BML подобен треугольнику BAC по двум углам (угол B общий, \(\angle BML = \angle BAC \) как соответственные при параллельных AL и AC, и секущей BM).
   Поскольку AL и CM — биссектрисы в равнобедренном треугольнике, они пересекаются на оси симметрии, которая также является медианой и высотой. Точка пересечения биссектрис — центр вписанной окружности.
4. Определим положение точек L и M.
   По теореме о биссектрисе: \( \frac{BL}{LC} = \frac{AB}{AC} = \frac{3}{2} \). Так как \( BL + LC = BC = 3 \), то \( BL = \frac{3}{3+2} \cdot 3 = \frac{9}{5} \) и \( LC = \frac{2}{3+2} \cdot 3 = \frac{6}{5} \).
   Аналогично для биссектрисы CM: \( \frac{BM}{MA} = \frac{BC}{AC} = \frac{3}{2} \). Так как \( BM + MA = AB = 3 \), то \( BM = \frac{3}{3+2} \cdot 3 = \frac{9}{5} \) и \( MA = \frac{2}{3+2} \cdot 3 = \frac{6}{5} \).
5. Вычислим длину LM.
   Рассмотрим треугольник BML. Мы знаем две стороны \( BL = \frac{9}{5} \) и \( BM = \frac{9}{5} \), и угол между ними \(\angle B \).
   Найдем косинус угла B. В треугольнике ABC по теореме косинусов:
   \( AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 AB · BC · · · · B \)
   \( 2^2 = 3^2 + 3^2 - 2 · 3 · 3 · · · B \)
   \( 4 = 9 + 9 - 18 · · · B \)
   \( 4 = 18 - 18 · · · B \)
   \( 18 · · · B = 14 \)
   \( · · · B = \frac{14}{18} = \frac{7}{9} \).
   Теперь найдем LM в треугольнике BML по теореме косинусов:
   \( LM^2 = BL^2 + BM^2 - 2 BL · BM · · · B \)
   \( LM^2 = \left(\frac{9}{5}\right)^2 + \left(\frac{9}{5}\right)^2 - 2 \left(\frac{9}{5}\right) \left(\frac{9}{5}\right) \left(\frac{7}{9}\right) \)
   \( LM^2 = \frac{81}{25} + \frac{81}{25} - 2 \frac{81}{25} \frac{7}{9} \)
   \( LM^2 = \frac{162}{25} - \frac{162}{25} \frac{7}{9} \)
   \( LM^2 = \frac{162}{25} \left(1 - \frac{7}{9}\right) \)
   \( LM^2 = \frac{162}{25} \left(\frac{2}{9}\right) \)
   \( LM^2 = \frac{162 \cdot 2}{25 · 9} = \frac{18 · 9 · 2}{25 · 9} = \frac{36}{25} \)
   \( LM = \sqrt{\frac{36}{25}} = \frac{6}{5} \).

Ответ: 6/5.