Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 10. Из точки, взятой на основании этого треугольника, проведены две прямые, параллельные боковым сторонам. Найдите периметр получившегося параллелограмма.

Решение:

Пусть дан равнобедренный треугольник ABC, где AB = BC. Боковая сторона равна 10, то есть AB = BC = 10.

Пусть D — точка на основании AC. Из точки D проведены прямые DE || BC и DF || AB, где E лежит на BC, а F лежит на AB.

Получившийся четырехугольник DECF является параллелограммом, так как DF || EC (так как DF || AB и E лежит на BC) и DE || FC (так как DE || BC и F лежит на AB).

По условию задачи, DF || AB, значит, четырёхугольник ADFD является параллелограммом. Следовательно, AD = DF и AF = DE.

Аналогично, DE || BC, значит, четырёхугольник DEBC является параллелограммом. Следовательно, DE = BC и EC = DB.

Перенесем длины сторон параллелограмма DECF:

• DE = FC
• DF = EC

Рассмотрим периметр параллелограмма DECF:

P_DECF = DE + EC + CF + FD

Заменим EC на DB и CF на AF:

P_DECF = DE + DB + AF + FD

Поскольку DE || BC, то треугольник ADF подобен треугольнику ABC. Также, DF || AB, значит, треугольник CEF подобен треугольнику ABC.

В параллелограмме DECF: DE || FC, DF || EC.

Если DF || AB, то угол AFD = угол ABC (соответственные). Если DE || BC, то угол ADE = угол ABC (соответственные). Значит, угол AFD = угол ADE.

Рассмотрим стороны параллелограмма DECF:

DE = FC, DF = EC.

Так как DF || AB, то четырёхугольник ADFD является параллелограммом. Отсюда AD = DF и AF = DE.

Периметр параллелограмма DECF = 2 * (DE + DF).

Заметим, что DE = AF и DF = AD.

Периметр параллелограмма DECF = 2 * (AF + AD) = 2 * (AD + AF).

Поскольку F лежит на AB, то AD + AF = AB.

Таким образом, периметр параллелограмма DECF = 2 * AB.

По условию, боковая сторона равнобедренного треугольника равна 10.

P_DECF = 2 * 10 = 20.

Альтернативное рассуждение:

Пусть точка D выбрана на основании AC равнобедренного треугольника ABC (AB = BC = 10). Проведены DE || BC (E на BC) и DF || AB (F на AB).

Рассмотрим четырёхугольник DECF. Так как DE || BC, а AC — секущая, то угол EDC = угол ACB. Так как DF || AB, а AC — секущая, то угол AFD = угол ABC.

В треугольнике ABC, AB = BC, значит, углы при основании равны: угол BAC = угол BCA.

Рассмотрим параллелограмм DECF. Его стороны равны: DE = FC и DF = EC.

Из DF || AB, следует, что четырёхугольник ADFD — параллелограмм. Значит, AF = DE и AD = DF.

Тогда периметр параллелограмма DECF = DE + EC + CF + DF = AF + AD + DE + DF = AF + DE + DE + AD.

Но так как DF || AB, то треугольник CEF подобен треугольнику ABC. Так как DE || BC, то треугольник ADF подобен треугольнику ABC.

Если DF || AB, то угол DFC = угол ABC. Если DE || BC, то угол DEC = угол ACB.

Рассмотрим параллелограмм DECF. Его стороны равны: DE = FC и DF = EC.

Из DF || AB, следует, что треугольник FBC подобен треугольнику ABC. Неверно.

Из DF || AB, то угол CFD = угол CAB (как соответственные при параллельных DF и AB и секущей AC). Неверно.

Вернемся к ADFD — параллелограмму. DF || AB => DF || AF. DE || BC => DE || EC.

DF || AB => угол DFC = угол ABC. DE || BC => угол DEC = угол ACB.

Углы при основании треугольника ABC равны: $$\angle BAC = \angle BCA$$.

Рассмотрим параллелограмм DECF. Его стороны равны: DE = FC, DF = EC.

Так как DF || AB, то $$\angle DFC = \angle ABC$$. Так как DE || BC, то $$\angle DEC = \angle ACB$$.

В треугольнике ABC, AB = BC, $$\angle BAC = \angle BCA$$.

Рассмотрим параллелограмм DECF. Его стороны равны: DE = FC, DF = EC.

Из DF || AB, то $$\angle AFD = \angle ABC$$. Из DE || BC, то $$\angle ADE = \angle ABC$$. Следовательно $$\angle AFD = \angle ADE$$.

Из DF || AB, то $$\angle CDF = \angle CAB$$.

Рассмотрим стороны параллелограмма DECF:

DE = FC, DF = EC.

Из DF || AB, то AD = DF и AF = DE.

Периметр DECF = DE + EC + CF + DF = AF + AD + DE + DF.

Заменим DE на AF и DF на AD:

Периметр DECF = AF + AD + AF + AD = 2 * (AF + AD) = 2 * AB.

Так как AB = 10, то периметр DECF = 2 * 10 = 20.

Итоговое рассуждение:

Пусть ABC — равнобедренный треугольник с AB = BC = 10. AC — основание.

Пусть D — точка на AC. Проведены DE || BC (E на BC) и DF || AB (F на AB).

Рассмотрим четырёхугольник DECF. Так как DE || BC и DF || AB, то DECF — параллелограмм.

Из DF || AB, следует, что четырёхугольник ADFD — параллелограмм. Это означает, что AD = DF и AF = DE.

Теперь рассмотрим периметр параллелограмма DECF:

P = DE + EC + CF + DF.

Так как DECF — параллелограмм, то DE = FC и DF = EC.

Подставим AF вместо DE и AD вместо DF (из того, что ADFD — параллелограмм):

P = AF + EC + FC + AD.

Поскольку E лежит на BC, то EC = BC - BE. Но это не помогает.

Из того, что ADFD — параллелограмм, мы имеем AF = DE и AD = DF.

Периметр DECF = DE + EC + CF + DF.

Заменим DE на AF и DF на AD:

P = AF + EC + CF + AD.

Теперь учтем, что DECF — параллелограмм:

DE = FC. И DF = EC.

Подставляя AF = DE, имеем AF = FC. Значит, F — середина AB. Это не всегда так.

Вернемся к AD = DF и AF = DE.

Периметр DECF = DE + EC + CF + DF.

Заменим DE на AF и DF на AD:

P = AF + EC + CF + AD.

Теперь учтем, что DECF — параллелограмм. Тогда DE || FC и DF || EC.

Из DF || AB, то $$\angle DFC = \angle ABC$$. Из DE || BC, то $$\angle DEC = \angle ACB$$.

В равнобедренном треугольнике ABC, $$\angle ABC = \angle ACB$$.

Следовательно, $$\angle DFC = \angle DEC$$.

В параллелограмме DECF, DE = FC и DF = EC.

Подставим AF = DE и AD = DF:

P = AF + EC + FC + AD.

Заменим FC на DE (т.е. на AF), и EC на DF (т.е. на AD):

P = AF + AD + AF + AD = 2 * (AF + AD).

Поскольку F лежит на AB, то AF + AD = AB.

Следовательно, P = 2 * AB.

Так как AB = 10, то P = 2 * 10 = 20.

Ответ: Периметр параллелограмма равен 20.