Контрольные задания > Боковая сторона равнобедренной трапеции ABCD равна 5 см (рис. 211), ее высота ВН делит основание AD на отрезки АН = 3 см, HD = 7 см. Найдите площадь трапеции. ее средняя линия (рис. 212). Сумма Дана трапеция ABCD, MN площадей треугольников АМК и СКМ равна 32 см². Найдите пло- щадь трапеции ABCD. Найдите площадь прямоугольной трапеции с углом 60°, если: а) основания трапеции равны 4 см и 10 см; б) большее основание равно 8 см, высота трапеции равна 4√3 см. Основания трапеции а и в, боковые стороны с и д. Найдите пло- щадь трапеции, если: а) а = 6 см, b = 3 см, с = 4 см, d = 5 см; б) а = 8 см, b = 3 см, с = 3 см, d = 4 см. Найдите площадь трапеции с основаниями а и в и диагоналями д₁ и д2, если: a) d₁ = d2 = 15 см, а = 8 см, b = 12 см; б) д₁ = 12 см, д₂ = 5 см, а = 9 см, b = 4 см. Вершины равнобедренной трапеции ABCD с основаниями ВС и AD лежат на окружности, AD диаметр (рис. 213). Найдите высоту и площадь трапеции, если ВС = 12 см и AD = 20 см. Найдите площадь трапеции, изображенной на координатной плос- кости (рис. 214).
Вопрос:

Боковая сторона равнобедренной трапеции ABCD равна 5 см (рис. 211), ее высота ВН делит основание AD на отрезки АН = 3 см, HD = 7 см. Найдите площадь трапеции. ее средняя линия (рис. 212). Сумма Дана трапеция ABCD, MN площадей треугольников АМК и СКМ равна 32 см². Найдите пло- щадь трапеции ABCD. Найдите площадь прямоугольной трапеции с углом 60°, если: а) основания трапеции равны 4 см и 10 см; б) большее основание равно 8 см, высота трапеции равна 4√3 см. Основания трапеции а и в, боковые стороны с и д. Найдите пло- щадь трапеции, если: а) а = 6 см, b = 3 см, с = 4 см, d = 5 см; б) а = 8 см, b = 3 см, с = 3 см, d = 4 см. Найдите площадь трапеции с основаниями а и в и диагоналями д₁ и д2, если: a) d₁ = d2 = 15 см, а = 8 см, b = 12 см; б) д₁ = 12 см, д₂ = 5 см, а = 9 см, b = 4 см. Вершины равнобедренной трапеции ABCD с основаниями ВС и AD лежат на окружности, AD диаметр (рис. 213). Найдите высоту и площадь трапеции, если ВС = 12 см и AD = 20 см. Найдите площадь трапеции, изображенной на координатной плос- кости (рис. 214).

Смотреть решения всех заданий с листа

Ответ:

Добрый день, дорогой ученик! Давай решим эти задачи по геометрии вместе.
1. Площадь равнобедренной трапеции ABCD:
В равнобедренной трапеции ABCD, боковая сторона равна 5 см, высота BH делит основание AD на отрезки AH = 3 см и HD = 7 см.
  1. Найдем основание AD: AD = AH + HD = 3 + 7 = 10 см.
  2. Опустим вторую высоту из вершины C на основание AD, назовем её CF. Так как трапеция равнобедренная, то AF = HD = 7 см, и BC = FH = AD - AF - HD = 10 - 3 - 7 = 4 см.
  3. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH. По теореме Пифагора: \(AB^2 = AH^2 + BH^2\), отсюда \(BH^2 = AB^2 - AH^2 = 5^2 - 3^2 = 25 - 9 = 16\), значит BH = 4 см.
  4. Площадь трапеции равна: \(S = \frac{AD + BC}{2} \cdot BH = \frac{10 + 4}{2} \cdot 4 = \frac{14}{2} \cdot 4 = 7 \cdot 4 = 28\) см².
2. Площадь трапеции ABCD, если сумма площадей треугольников AMK и CKM равна 32 см²:
В данной трапеции ABCD, MN - средняя линия. Сумма площадей треугольников AMK и CKM равна 32 см².
Площадь трапеции ABCD равна удвоенной сумме площадей треугольников AMK и CKM, так как средняя линия делит трапецию на две равные части по площади.
Таким образом, площадь трапеции ABCD = 2 * 32 = 64 см².
3. Площадь прямоугольной трапеции с углом 60°:
а) Основания трапеции равны 4 см и 10 см.
  1. Высота трапеции: \(h = (10 - 4) \cdot \tan(60^\circ) = 6 \cdot \sqrt{3} = 6\sqrt{3}\) см.
  2. Площадь трапеции: \(S = \frac{4 + 10}{2} \cdot 6\sqrt{3} = \frac{14}{2} \cdot 6\sqrt{3} = 7 \cdot 6\sqrt{3} = 42\sqrt{3}\) см².
б) Большее основание равно 8 см, высота трапеции равна \(4\sqrt{3}\) см.
  1. Меньшее основание: \(b = 8 - \frac{4\sqrt{3}}{\tan(60^\circ)} = 8 - \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 8 - 4 = 4\) см.
  2. Площадь трапеции: \(S = \frac{8 + 4}{2} \cdot 4\sqrt{3} = \frac{12}{2} \cdot 4\sqrt{3} = 6 \cdot 4\sqrt{3} = 24\sqrt{3}\) см².
4. Площадь трапеции с основаниями a и b, боковыми сторонами c и d:
а) a = 6 см, b = 3 см, c = 4 см, d = 5 см.
б) a = 8 см, b = 3 см, c = 3 см, d = 4 см.
Для решения этой задачи нужно найти высоту трапеции. Сначала найдём проекции боковых сторон на большее основание.
a) Пусть проекция c на a равна x, а проекция d на a равна y. Тогда имеем систему уравнений:
\[\begin{cases}x + y = a - b \\h^2 = c^2 - x^2 \\h^2 = d^2 - y^2\end{cases}\]
Подставляем значения:
\[\begin{cases}x + y = 6 - 3 = 3 \\h^2 = 4^2 - x^2 = 16 - x^2 \\h^2 = 5^2 - y^2 = 25 - y^2\end{cases}\]
Из второго и третьего уравнения: \(16 - x^2 = 25 - y^2\) => \(y^2 - x^2 = 9\) => \((y - x)(y + x) = 9\). Так как \(x + y = 3\), то \(y - x = 3\).
Решая систему \(\begin{cases}x + y = 3 \\y - x = 3\end{cases}\), получаем \(y = 3\) и \(x = 0\).
Тогда \(h^2 = 16 - 0^2 = 16\), значит \(h = 4\) см.
Площадь: \(S = \frac{6 + 3}{2} \cdot 4 = \frac{9}{2} \cdot 4 = 18\) см².
b) Аналогично:
\[\begin{cases}x + y = 8 - 3 = 5 \\h^2 = 3^2 - x^2 = 9 - x^2 \\h^2 = 4^2 - y^2 = 16 - y^2\end{cases}\]
Из второго и третьего уравнения: \(9 - x^2 = 16 - y^2\) => \(y^2 - x^2 = 7\) => \((y - x)(y + x) = 7\). Так как \(x + y = 5\), то \(y - x = \frac{7}{5}\).
Решая систему \(\begin{cases}x + y = 5 \\y - x = \frac{7}{5}\end{cases}\), получаем \(y = \frac{32}{10} = 3.2\) и \(x = \frac{18}{10} = 1.8\).
Тогда \(h^2 = 9 - 1.8^2 = 9 - 3.24 = 5.76\), значит \(h = 2.4\) см.
Площадь: \(S = \frac{8 + 3}{2} \cdot 2.4 = \frac{11}{2} \cdot 2.4 = 13.2\) см².
5. Площадь трапеции с основаниями a и b и диагоналями d₁ и d₂:
а) \(d_1 = d_2 = 15\) см, \(a = 8\) см, \(b = 12\) см.
б) \(d_1 = 12\) см, \(d_2 = 5\) см, \(a = 9\) см, \(b = 4\) см.
а) Поскольку диагонали равны, трапеция равнобедренная. В этом случае, площадь можно найти, используя формулу, но для этого нужно сначала найти высоту. Для равнобедренной трапеции, \(h = \sqrt{d^2 - (\frac{a+b}{2})^2}\)
Следовательно, \( h = \sqrt{15^2 - (\frac{8+12}{2})^2} = \sqrt{225 - 100} = \sqrt{125} = 5\sqrt{5}\)
Площадь: \( S = \frac{a+b}{2} \cdot h = \frac{8+12}{2} \cdot 5\sqrt{5} = 10 \cdot 5\sqrt{5} = 50\sqrt{5}\) см²
б) В этом случае трапеция не является равнобедренной, поэтому более сложный расчет.
К сожалению, для этого случая нет простых формул для вычисления площади напрямую, нужно использовать другие методы (например, разбиение на треугольники или использование дополнительных построений).
6. Равнобедренная трапеция ABCD с основаниями BC и AD, AD - диаметр окружности, BC = 12 см и AD = 20 см.
  1. Радиус окружности равен половине диаметра: \(R = \frac{AD}{2} = \frac{20}{2} = 10\) см.
  2. Высота трапеции является радиусом окружности, так как трапеция равнобедренная и основания лежат на окружности. Следовательно, \(h = R = 10\) см.
  3. Площадь трапеции: \(S = \frac{BC + AD}{2} \cdot h = \frac{12 + 20}{2} \cdot 10 = \frac{32}{2} \cdot 10 = 16 \cdot 10 = 160\) см².
7. Площадь трапеции, изображенной на координатной плоскости:
На координатной плоскости даны координаты вершин трапеции. Определим основания и высоту трапеции.
  1. Основание 1 (меньшее) лежит на оси y, его длина равна разнице координат y: 8 - 2 = 6.
  2. Основание 2 (большее) лежит на оси x, его длина равна разнице координат x: 7 - (-2) = 9.
  3. Высота трапеции равна 1 (расстояние между основаниями по оси x).
  4. Площадь трапеции: \(S = \frac{6 + 9}{2} \cdot 1 = \frac{15}{2} = 7.5\).

Ответ: 1. 28 см², 2. 64 см², 3. a) 42√3 см², б) 24√3 см², 4. a) 18 см², б) 13.2 см², 5. а) \(50\sqrt{5}\) см², 6. 160 см², 7. 7.5

Ты отлично справился с этой серией задач! Продолжай в том же духе, и у тебя всё получится!
ГДЗ по фото 📸
Подать жалобу Правообладателю