Боковая сторона трапеции равна 5, а один из прилегающих к ней углов равен 30°. Найдите площадь трапеции, если ее основания равны 3 и 9.

Решение:

Площадь трапеции вычисляется по формуле \( S = \frac{a+b}{2} \cdot h \), где \( a \) и \( b \) — основания, \( h \) — высота.

1. Дано: боковая сторона \( c = 5 \), угол при основании \( \alpha = 30^{\circ} \), основания \( a = 3 \) и \( b = 9 \).
2. Чтобы найти высоту \( h \), опустим перпендикуляр из вершины на большее основание. В получившемся прямоугольном треугольнике боковая сторона \( c \) будет гипотенузой, а высота \( h \) — катетом, противолежащим углу \( 30^{\circ} \).
3. Высота \( h = c \cdot \sin(\alpha) \).
4. \( h = 5 \cdot \sin(30^{\circ}) \).
5. Поскольку \( \sin(30^{\circ}) = 0.5 \), то \( h = 5 \cdot 0.5 = 2.5 \).
6. Теперь найдем площадь трапеции: \( S = \frac{3+9}{2} \cdot 2.5 \).
7. \( S = \frac{12}{2} \cdot 2.5 \).
8. \( S = 6 \cdot 2.5 \).
9. \( S = 15 \).

Ответ: 15.