Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды равно 10 м, оно наклонено к плоскости основания под углом 30°. Вычислите длину: а) высоты пирамиды; б) стороны основания пирамиды.

Решение:

1. Находим высоту пирамиды (а):

   Обозначим боковое ребро как l, угол наклона к основанию как $$\alpha$$, высоту как h, и половину диагонали основания как d/2.

   В прямоугольном треугольнике, образованном высотой пирамиды, половиной диагонали основания и боковым ребром, высота (h) является катетом, противолежащим углу наклона ($$\\alpha = 30^{\circ}$$). Боковое ребро (l = 10 м) является гипотенузой.

   Используем тригонометрическую функцию синуса: $$ \sin(\alpha) = \frac{h}{l} \ n $$

   Выразим высоту: $$ h = l \times \sin(\alpha) \ n $$

   Подставим значения: $$ h = 10 \text{ м} \times \sin(30^{\circ}) \ n $$

   Так как $$ \sin(30^{\circ}) = 0.5 \ n $$, получаем: $$ h = 10 \text{ м} \times 0.5 = 5 \text{ м} \ n $$

2. Находим сторону основания пирамиды (б):

   Сначала найдем половину диагонали основания (d/2), используя ту же тригонометрическую функцию косинуса: $$ \cos(\alpha) = \frac{d/2}{l} \ n $$

   Выразим половину диагонали: $$ d/2 = l \times \cos(\alpha) \ n $$

   Подставим значения: $$ d/2 = 10 \text{ м} \times \cos(30^{\circ}) \ n $$

   Так как $$ \cos(30^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \ n $$, получаем: $$ d/2 = 10 \text{ м} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3} \text{ м} \ n $$

   Теперь найдем полную диагональ основания: $$ d = 2 \times (5\sqrt{3} \text{ м}) = 10\sqrt{3} \text{ м} \ n $$

   Поскольку пирамида четырехугольная, основание — квадрат. Сторона квадрата (a) связана с диагональю (d) соотношением: $$ a = \frac{d}{\sqrt{2}} \ n $$

   Подставим значение диагонали: $$ a = \frac{10\sqrt{3} \text{ м}}{\sqrt{2}} \ n $$

   Упростим: $$ a = \frac{10\sqrt{3} \times \sqrt{2}}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}} \text{ м} = \frac{10\sqrt{6}}{2} \text{ м} = 5\sqrt{6} \text{ м} \ n $$

Ответ:

• а) Высота пирамиды: 5 м
• б) Сторона основания пирамиды: $$ 5\sqrt{6} $$ м