Боковое ребро правильной четырёхугольной пирамиды наклонено к плоскости основания под углом 60°. Найди объём пирамиды, если её высота равна 24.

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Находим апофему (l). Апофема — это высота боковой грани. В прямоугольном треугольнике, образованном высотой пирамиды (H), апофемой (l) и отрезком, соединяющим центр основания с серединой стороны основания (равным половине стороны основания, a/2), угол между апофемой и плоскостью основания равен 60°. Используем тангенс: \( \text{tg}(60^{\circ}) = \frac{H}{a/2} \). Отсюда \( a/2 = \frac{H}{\text{tg}(60^{\circ})} = \frac{24}{\sqrt{3}} \).
2. Шаг 2: Находим сторону основания (a). \( a = 2 \cdot \frac{24}{\sqrt{3}} = \frac{48}{\sqrt{3}} = \frac{48\sqrt{3}}{3} = 16\sqrt{3} \).
3. Шаг 3: Находим площадь основания (S). Так как основание — квадрат, \( S = a^2 = (16\sqrt{3})^2 = 16^2 \cdot (\sqrt{3})^2 = 256 \cdot 3 = 768 \).
4. Шаг 4: Находим объём пирамиды (V). Формула объёма пирамиды: \( V = \frac{1}{3} S \cdot H \). \( V = \frac{1}{3} \cdot 768 \cdot 24 = 768 \cdot 8 = 6144 \).

Ответ: 6144