Боковые стороны \(AB\) и \(CD\) прямоугольной трапеции \(ABCD\) равны соответственно 40 и 41. Биссектриса угла \(ADC\) проходит через середину стороны \(AB\). Найдите площадь трапеции.

Question

Вопрос:

Ответ:

ФИО:Телефон:Емаил:Полное описание сути нарушения прав (почему распространение данной информации запрещено Правообладателем):

Accepted Answer

Краткое пояснение: Сначала определим основания трапеции, используя свойства биссектрисы и прямоугольной трапеции, а затем вычислим площадь.

Обозначим середину стороны \(AB\) как точку \(M\). Так как \(DM\) — биссектриса угла \(ADC\), то \(\angle ADM = \angle MDC\).
Поскольку \(AB\) перпендикулярна \(AD\), а \(DM\) проходит через середину \(AB\), то треугольник \(AMD\) равнобедренный (\(AM = MD\)). Следовательно, \(AM = MD = 20\).
Тогда \(AD = 20\).
Проведем высоту \(CH\) из вершины \(C\) на основание \(AD\). Получим прямоугольный треугольник \(CHD\), в котором \(CD = 41\) и \(CH = AB = 40\).
По теореме Пифагора найдем \(HD\): \(HD = \sqrt{CD^2 - CH^2} = \sqrt{41^2 - 40^2} = \sqrt{1681 - 1600} = \sqrt{81} = 9\).
Так как \(AH = BC\), то \(AD = AH + HD\), откуда \(20 = BC + 9\), значит, \(BC = 20 - 9 = 11\).
Теперь найдем площадь трапеции \(ABCD\): \(S = \frac{AD + BC}{2} \cdot AB = \frac{20 + 11}{2} \cdot 40 = \frac{31}{2} \cdot 40 = 31 \cdot 20 = 620\).

Ответ: 620